Question

如圖，直線y=x＋1與y軸交于A點，與反比列函數y=(x>0)的圖象交于點M，過M作MH⊥x，且tan∠AHO=．
(1)求k的值；
(2)設點N（1，a）是反比例函數y=（x>0）圖像上的點，在y軸上是否存在點P，使得PM＋PN最小，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）6；（2）（0，5）．

解析試題分析：（1）對于直線y=x+1，令x=0求出y的值，確定出A坐標，得到OA的長，根據tan∠AHO的值，利用銳角三角函數定義求出OH的長，根據MH垂直于x軸，得到M橫坐標與A橫坐標相同，再由M在直線y=x+1上，確定出M坐標，代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）將N坐標代入反比例解析式求出a的值，確定出N坐標，過N作N關于y軸的對稱點N₁，連接MN1，交y軸于P（如圖），此時PM+PN最小，由N與N₁關于y軸的對稱，根據N坐標求出N₁坐標，設直線MN₁的解析式為y=kx+b，把M，N₁的坐標代入求出k與b的值，確定出直線MN₁的解析式，令x=0求出y的值，即可確定出P坐標．
（1）由y=x+1可得A（0，1），即OA=1，
∵tan∠AHO=，
∴OH=2，
∵MH⊥x軸，
∴點M的橫坐標為2，
∵點M在直線y=x+1上，
∴點M的縱坐標為3，即M（2，3），
∵點M在上，
∴k=2×3=6；
（2）∵點N（1，a）在反比例函數的圖象上，
∴a=6，即點N的坐標為（1，6），
過N作N關于y軸的對稱點N₁，連接MN₁，交y軸于P（如圖），

此時PM+PN最小，
∵N與N₁關于y軸的對稱，N點坐標為（1，6），
∴N1的坐標為（-1，6），
設直線MN₁的解析式為y=kx+b，
把M，N₁的坐標得
，
解得：
，
∴直線MN₁的解析式為y=-x+5，
令x=0，得y=5，
∴P點坐標為（0，5）．
考點：反比例函數綜合題．