Question

如圖①，將兩個(gè)等腰直角三角形疊放在一起，使上面三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與下面三角板的直角頂點(diǎn)重合，并將上面的三角板繞著這個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)下面三角板的斜邊被分成三條線段時(shí)，我們來(lái)研究這三條線段之間的關(guān)系．
（1）實(shí)驗(yàn)與操作：
如圖②，如果上面三角板的一條直角邊旋轉(zhuǎn)到CM的位置時(shí)，它的斜邊恰好旋轉(zhuǎn)到CN的位置，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中分別畫出以AM、MN和NB為邊長(zhǎng)的正方形，觀察這三個(gè)正方形的面積之間的關(guān)系；
（2）猜想與探究：
如圖③，在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，M、N是AB邊上的點(diǎn)，∠MCN=45°，作DA⊥AB于點(diǎn)A，截取DA=NB，并連接DC、DM．
我們來(lái)證明線段CD與線段CN相等．
∵∠CAB=∠CBA=45°，又DA⊥AB于點(diǎn)A，
∴∠DAC=45°，∴∠DAC=∠CBA，
又∵DA=NB，BC=AC，
∴△CAD≌△CBN．
∴CD=CN．

請(qǐng)你繼續(xù)解答：
①線段MD與線段MN相等嗎？為什么？
②線段AM、MN、NB有怎樣的數(shù)量關(guān)系，為什么？
（3）拓廣與運(yùn)用：
如圖④，已知線段AB上任意一點(diǎn)M（AM＜MB），是否總能在線段MB上找到一點(diǎn)N，使得分別以AM與BN為邊長(zhǎng)的正方形的面積的和等于以MN為邊長(zhǎng)的正方形的面積？若能，請(qǐng)?jiān)趫D④中畫出點(diǎn)N的位置，并簡(jiǎn)要說(shuō)明作法；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）如圖所示：以AM為邊的正方形的面積加上以BN為邊的正方形的面積等于移NM為邊的正方形的面積． ．

（2）①線段MD與線段MN相等．
理由是：在△CDM和△CNM中
，
∴△CDM≌△CNM，
∴MD=MN．

②AM²+NB²=MN²，
理由是：∵在Rt△DAM中，AM²+DA²=DM²，
又∵DA=NB，MD=MN，
∴AM²+NB²=MN²．

（3）能在線段MB上找到點(diǎn)N，作法如下：

作AC=BC，且∠ACB=90°，連接CM，作∠MCN=45°，交AB于點(diǎn)N．
分析：（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；
（2）①根據(jù)SAS證△CDM≌△CNM即可；②根據(jù)勾股定理推出AM²+DA²=DM²，把DA=NB，MD=MN代入求出即可；
（3）根據(jù)③圖形，作等腰直角三角形ACB，∠ACB=90°，在∠ACB內(nèi)部作∠MCN=45°即可．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了勾股定理，等腰直角三角形，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是考查學(xué)生能根據(jù)題意得出規(guī)律，題型較好，有一定的難度．