Question

如圖1，在同一平面內，Rt△ABC≌Rt△DEF，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3，AC=DF=4，AC與DF重合，△ABC始終保持不動．
（1）將△DEF沿CB（EB）方向平移，直到點E與點B重合為止，設平移的距離為x，兩個三角形重疊部分的面積為y，寫出y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）如圖2，將△DEF繞點C逆時針旋轉，旋轉后得到的三角形為△D′E′F，設D′E′與AC交于點M，當∠ECE′=∠EAC時，求線段CM的長；
（3）如圖3，在△DEF繞點C逆時針旋轉的過程中，若設D′F所在直線與AB所在直線的交點為N，是否存在點N使△ACN為等腰三角形，若存在，求出線段BN的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）畫出圖形，分0≤x≤3和3＜x≤6兩種情況討論，①0≤x≤3時，構造梯形JFCH和梯形HGCI，利用相似三角形的性質，表示出HG、JF的長，再根據梯形面積公式求解；②當3＜x≤6時，構造等腰三角形HBG，利用相似三角形的性質，表示出HG的長，再根據三角形面積公式求解；
（2）由旋轉的性質得到△DEF≌△DE′F′，從而得到∠ACE′=∠E′，進而得到CM=ME′，CM=ME′，然后根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出C M=ME′=；
（3）分三種情況進行討論：①若AN=NC，則點N是AC的中垂線與AB的交點；②若AN=AC，則點N是以A為圓心、AC為半徑的圓與AB的交點；③若AC=NC，則點N是以C為圓心、AC為半徑的圓與AB的交點．
解答：解：（1）當0≤x≤3時，如圖①，作HG⊥FC，
則=，
即=，
JF=4-x．
又有，=，
即=，
HG=4-x，
則S_梯形JFGH=（4-x+4-x），
即y=2S_梯形JFGH=-x²+4x，
當3＜x≤6時，如圖②，作HG⊥BE于G，
則=，
即=，
HG=4-x，
則y=（6-x）（4-x），
．

（2）在Rt△DEF中，∠DFE=90°，
∴∠ECE′+∠ACE′=90°，∠EAC+∠E=90°，
又∵∠ECE′=∠EAC，
∴∠ACE′=∠E，
∵△DEF旋轉得到△DE′F′，
∴∠E=∠E′，DE=D′E′，
∴∠ACE′=∠E′，
∴CM=ME′，
同理CM=MD′，
∴CM=ME′=MD′，
在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，
∴DE=，
∴D′E′=DE=5，
∴C M=ME′=．

（3）存在．
①若AN=NC，則點N是AC的中垂線與AB的交點；
在Rt△ABC中，∠ACB=90°
∴∠BAC+∠B=90°，∠ACN+∠BCN=90°，
又∵AN=NC，
∴∠BAC=∠ACN，
∴∠B=∠BCN，
∴BN=NC，
又∵AN=NC，
∴BN=AN=；
②若AN=AC，則點N是以A為圓心、AC為半徑的圓與AB的交點；
（ⅰ）當點N在線段AB上時，
∵AC=4，
∴AN=4，
∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴AB=DE=5，
∴BN=AB-AN=1；
（ⅱ）當點N在線段BA的延長線上時，如答圖③，
∵AN=AC=4，
∴BN=AB+AN=9．
③若AC=NC，則點N是以C為圓心、AC為半徑的圓與AB的交點，過點C作CH⊥AB于H如圖④，
由探究得△ACH∽△ABC，
∴，
∴，
∵AC=NC，CH⊥AB，
∴AH=HN，
∴AN=2AH=，
∴BN=AN-AB=．
綜上所述，存在這樣的點N，使得△ACN為等腰三角形，所求BN的長為1或9或或．
點評：本題考查了相似形綜合問題，涉及平移、旋轉、勾股定理、相似三角形的性質等諸多內容，在解答（3）時要注意進行分類討論，不要漏解．