Question

【題目】如圖，長方形紙片中，，將紙片折疊，使頂點落在邊上的點處，折痕的一端點在邊上.

（1）如圖1，當折痕的另一端在邊上且時，求的長

（2）如圖2，當折痕的另一端在邊上且時，

①求證：.②求的長.

（3）如圖3，當折痕的另一端在邊上，點的對應點在長方形內部，到的距離為2，且時，求的長.

Answer 1

【答案】（1）3；（2）①證明見解析；②6；（3）.

【解析】

（1）根據翻折的性質可得BF=EF，然后用AF表示出EF，在Rt△AEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；

（2）①根據翻折的性質可得∠BGF=∠EGF，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠BGF=∠EFG，從而得到∠EGF=∠EFG，再根據等角對等邊證明即可；

②根據翻折的性質可得EG=BG，HE=AB，FH=AF，然后在Rt△EFH中，利用勾股定理列式計算即可得解；

（3）設EH與AD相交于點K，過點E作MN∥CD分別交AD、BC于M、N，然后求出EM、EN，在Rt△ENG中，利用勾股定理列式求出GN，再根據△GEN和△EKM相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出EK、KM，再求出KH，然后根據△FKH和△EKM相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可．

（1）紙片折疊后頂點落在邊上的點處，

∴，

∵，

∴，

在中，，

即，

解得；

（2）①∵紙片折疊后頂點落在邊上的點處，

∴，

∵長方形紙片的邊，

∴，

∴，

∴；

②∵紙片折疊后頂點落在邊上的點處，

∴，，，

∴，

在中，，

∴；

（3）法一：如圖3，設與相交于點，過點作分別交、于、，

∵到的距離為2cm，

∴，.

在中，，

∵，

，

∴.

又∵，

∴∽，

∴，

即，

解得，，

∴，

∵，，

∴∽，

∴，

即，

解得，

∴.

法二：如圖4，設與相交于點，過點作分別交、于、，過點作交于點，連接，

∵到的距離為2，

∴，，

在中，，

設，

在中，根據勾股定理可得：，

在中，根據勾股定理可得：，

在中，根據勾股定理可得：，

即，解得：，故，

∴，

設，

在中，根據勾股定理可得：，

∵

即：，

解得：，

∴