Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xoy中，直線與軸，軸分別交于點A和點B.拋物線經過A,B兩點，且對稱軸為直線，拋物線與軸的另一交點為點C.

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）設點E是拋物線上一動點，且點E在直線AB下方.當△ABE的面積最大時，求點E的坐標，及△ABE面積的最大值S；

拋物線上是否還存在其它點M,使△ABM的面積等于中的最大值S,若存在，求出滿足條件的點M的坐標；若不存在，說明理由；

（3）若點F為線段OB上一動點，直接寫出的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）E(-2,-4）,4；②存在，；（3）

【解析】

（1）求出AB兩點坐標，利用待定系數法即可求解；

（2）設點E的坐標為，當△ABE的面積最大時，點E在拋物線上且距AB最遠，此時E所在直線與AB平行，且與拋物線只有一個交點.設點E所在直線為l：y=-x+b，與二次函數聯立方程組，根據只有一個交點，得，求出b，進而求出點E坐標；

拋物線上直線AB上方還存在其它點M,使△ABM的面積等于中的最大值S，此時點M所在直線與直線AB平行,且與直線l到直線AB距離相等，求出直線解析式，與二次函數聯立方程組，即可求解；

（3）如圖，作 交x軸于點G，作FP⊥BG，于P，得到，所以當C、F、P在同一直線上時， 有最小值，作CH⊥GB于H，求出CH即可．

解：（1）在中分別令x=0，y=0，可得點A(-4,0)，B(0,-4)，

根據A,B坐標及對稱軸為直線，可得方程組

解方程組可得

∴拋物線的函數表達式為

（2）①設點E的坐標為，當△ABE的面積最大時，

點E在拋物線上且距AB最遠，此時E所在直線與AB平行，且與拋物線只有一個交點.設點E所在直線為l：y=-x+b.

聯立得方程，消去y

得，據題意；

解之得，直線l的解析式為y=-x-6,

聯立方程，解得，

∴點E(-2,-4），

過E作y軸的平行線可求得△ABE面積的最大值為4.

②拋物線上直線AB上方還存在其它點M,使△ABM的面積等于中的最大值S，此時點M所在直線與直線AB平行,且與直線l到直線AB距離相等，易得直線是直線l向上平移4個單位，

∴解析式為y=-x-2,與二次函數聯立方程組可得

方程組解之得

∴存在兩個點，

（3）如圖，作 交x軸于點G，作FP⊥BG于P，

則是直角三角形，

∴,

∴,

∴當C、F、P在同一直線上時， 有最小值，

作CH⊥GB于H，

在中，∵

∴,,

∵A(-4,0)，拋物線對稱軸為直線，

∴點C坐標為（2,0），

∴,

∴ 在中， ,

∴的最小值為．