Question

（2012•房山區一模）如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=

5

，以點B為圓心，以

2

為半徑作圓．
（1）設點P為⊙B上的一個動點，線段CP繞著點C順時針旋轉90°，得到線段CD，連接DA，DB，PB，如圖2．求證：AD=BP；
（2）在（1）的條件下，若∠CPB=135°，則BD=

2

2

或2

；
（3）在（1）的條件下，當∠PBC=

135

° 時，BD有最大值，且最大值為

10

+

2

；當∠PBC=

45

° 時，BD有最小值，且最小值為

10

-

2

．

Answer 1

分析：（1）根據SAS即可證明△ACD≌△BCP，再根據全等三角形的性質可得AD=BP；
（2）分P點在BC上面和P點在BC下面兩種情況討論可得BD的長；
（3）當∠PBC=135°時，BD有最大值；當∠PBC=45°時，BD有最小值．

解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，∠DCP=90°，
∴∠ACD=∠BCP
在△ACD與△BCP中，
∵

AC=BC ∠ACD=∠BCP CD=CP

，
∴△ACD≌△BCP（SAS）
∴AD=BP；

（2）解：在（1）的條件下，若∠CPB=135°，則BD=2

2

或2；

（3）解：當∠PBC=135°時，BD有最大值，且最大值為

10

+

2

；
當∠PBC=45°時，BD有最小值，且最小值為 

10

-

2

．
故答案為：2

2

或2；135，

10

+

2

；45，

10

-

2

．

點評：考查了圓的綜合題，涉及的知識有全等三角形的判定與性質，分類思想的運用，最大值與最小值，注意分析問題要全面，以免漏解，有一定的難度．