Question

【題目】如圖1，已知雙曲線y= （k＞0）與直線y=k′x交于A、B兩點，點A在第一象限，試回答下列問題：

（1）若點A的坐標為（3，1），則點B的坐標為；當x滿足：時， ≤k′x；
（2）如圖2，過原點O作另一條直線l，交雙曲線y= （k＞0）于P，Q兩點，點P在第一象限．

四邊形APBQ一定是；
（3）若點A的坐標為（3，1），點P的橫坐標為1，求四邊形APBQ的面積．
（4）設點A，P的橫坐標分別為m，n，四邊形APBQ可能是矩形嗎？可能是正方形嗎？若可能，直接寫出m，n應滿足的條件；若不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（﹣3，﹣1）；﹣3≤x＜0或x≥3
（2）平行四邊形
（3）

∵點A的坐標為（3，1），

∴k=3×1=3，∴反比例函數的解析式為y= ，∵點P的橫坐標為1，∴點P的縱坐標為3，∴點P的坐標為（1，3），

由雙曲線關于原點對稱可知，點Q的坐標為（﹣1，﹣3），點B的坐標為（﹣3，﹣1），

如圖2，過點A、B分別作y軸的平行線，過點P、Q分別作x軸的平行線，分別交于C、D、E、F，

則四邊形CDEF是矩形，

CD=6，DE=6，DB=DP=4，CP=CA=2，

則四邊形APBQ的面積=矩形CDEF的面積﹣△ACP的面積﹣△PDB的面積﹣△BEQ的面積﹣△AFQ的面積

=36﹣2﹣8﹣2﹣8=16．

（4）

解：mn=k時，四邊形APBQ是矩形，不可能是正方形，理由：當AB⊥PQ時四邊形APBQ是正方形，此時點A、P在坐標軸上，由于點A，P可能達到坐標軸故不可能是正方形，即∠POA≠90°．因為mn=k，易知P、A關于直線y=x對稱，所以PO=OA=OB=OQ，所以四邊形APBQ是矩形．

【解析】解：（1）∵A、B關于原點對稱，A（3，1），
∴點B的坐標為（﹣3，﹣1）．由圖象可知，當﹣3≤x＜0或x≥3時， ≤k′x．
故答案為（﹣3，﹣1），﹣3≤x＜0或x≥3；（2）∵A、B關于原點對稱，P、Q關于原點對稱，
∴OA=OB，OP=OQ，∴四邊形APBQ是平行四邊形．故答案為：平行四邊形；
=36﹣2﹣8﹣2﹣8=16．
（1）根據正比例函數與反比例函數的圖象的交點關于原點對稱，即可解決問題，利用圖象根據正比例函數的圖象在反比例函數的圖象的上方，即可確定自變量x的范圍．（2）利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可．(3)利用分割法求面積即可．（3）根據矩形的性質、正方形的性質即可判定．