Question

【題目】已知矩形紙片OBCD的邊OB在x軸上，OD在y軸上，點C在第一象限，且.現將紙片折疊，折痕為EF（點E，F是折痕與矩形的邊的交點），點P為點D的對應點，再將紙片還原。

（I）若點P落在矩形OBCD的邊OB上，

①如圖①，當點E與點O重合時，求點F的坐標；

②如圖②，當點E在OB上，點F在DC上時，EF與DP交于點G，若，求點F的坐標：

（Ⅱ）若點P落在矩形OBCD的內部，且點E，F分別在邊OD，邊DC上，當OP取最小值時，求點P的坐標（直接寫出結果即可）。

Answer 1

【答案】（I）①點F的坐標為；②點F的坐標為；（II）

【解析】

（I）①根據折疊的性質可得,再由矩形的性質，即可求出F的坐標;

②由折疊的性質及矩形的特點，易得，得到，再加上平行，可以得到四邊形DEPF是平行四邊形，在由對角線垂直，得出 是菱形，設菱形的邊長為x，在中，由勾股定理建立方程即可求解;

(Ⅱ)當O,P,F點共線時OP的長度最短.

解：（I）①∵折痕為EF,點P為點D的對應點

∵四邊形OBCD是矩形，

點F的坐標為

②∵折痕為EF，點P為點D的對應點.

∵四邊形OBCD是矩形，

，

；

∴四邊形DEPF是平行四邊形.

，

是菱形.

設菱形的邊長為x，則

，

，

在中，由勾股定理得

解得

∴點F的坐標為

（Ⅱ）