Question

【題目】平面直角坐標系中，有A、B、C三點，其中A為原點，點B和點C的坐標分別為（5,0）和（1,2）.

（1）證明：△ABC為RT△；

（2）請你在直角坐標系中找一點D，使得△ABC與△ABD相似，寫出所有滿足條件的點D的坐標，并在同一坐標系中畫出所有符合要求的三角形；

（3）在第（2）題所作的圖中，連接任意兩個直角三角形（包括△ABC）的直角頂點均可得到一條線段，在連接兩點所得的所有線段中任取一條線段，求取到長度為無理數的線段的概率.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）D1（1，-2）；D2（4，-1），D3（4，1）；D4（5，-10），D5（5，10）；D6（5，-2.5），D7（5，2.5）；D8（0，-10），D9（0，10）；D10（0，-2.5），D11（0，2.5）；作圖見解析；（3）p=.

【解析】

試題分析：本題主要考查了勾股定理及其逆定理、相似三角形的性質、概率公式等知識，運用分類討論的思想是解決第（2）小題的關鍵．

（1）過點C作CH⊥x軸于H，如圖1，只需運用勾股定理求出AB2、AC2、BC2，然后運用勾股定理的逆定理就可解決問題；

（2）△ABC與△ABD相似，對應關系不確定，故需分六種情況（①若△ABC∽△ABD，②若△ABC∽△BAD，③若△ABC∽△ADB，④若△ABC∽△DAB，⑤若△ABC∽△BDA，⑥若△ABC∽△DBA）討論，然后運用相似三角形的性質就可解決問題；

（3）圖中的直角三角形的直角頂點有A、B、C、D1、D2、D3，只需求出任意兩直角頂點的連線段的條數和長度為無理數的線段的條數，就可解決問題．

試題解析：（1）過點C作CH⊥x軸于H，如圖1，

∵A（0，0），B（5，0），C（1，2），

∴AC=，BC=2，AB=5，

∴AB2=AC2+BC2，

∴△ABC為RT△；

；

（2）①若△ABC∽△ABD，則有D1（1，-2）；

②若△ABC∽△BAD，則有D2（4，-1），D3（4，1）；

③若△ABC∽△ADB，則有D4（5，-10），D5（5，10）；

④若△ABC∽△DAB，則有D6（5，-2.5），D7（5，2.5）；

⑤若△ABC∽△BDA，則有D8（0，-10），D9（0，10）；

⑥若△ABC∽△DBA，則有D10（0，-2.5），D11（0，2.5）；

所有符合要求的三角形如圖2所示：

；

（3）圖中的直角三角形的直角頂點有A、B、C、D1、D2、D3．

任意兩直角頂點的連線段共有6×52=15條，

其中AB=5，CD1=D2D3=4，CD2=D1D3=5，CD3=D1D2=3，

故長度為有理數的線段共7條，長度為無理數的線段共8條，

則取到長度為無理數的線段的概率為p=．