Question

【題目】在數(shù)學活動課上，老師提出了一個問題，希望同學們進行探究．
在平面直角坐標系中，若一次函數(shù) 的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，與反比例函數(shù) 的圖象交于C、D兩點，則AD和BC有怎樣的數(shù)量關系？
同學們通過合作討論，逐漸完成了對問題的探究．

（1）小勇說：我們可以從特殊入手，取 進行研究（如圖①），此時我發(fā)現(xiàn)AD=BC．
小攀說：在圖①中，分別從點C、D兩點向兩條坐標軸作垂線，根據(jù)所學知識可以知道有兩個圖形的面積是相等的，并能求出確定的值，而且在圖②中，此時 ，這一結論仍然成立，即 的面積= 的面積，此面積的值為 ．
小高說：我還發(fā)現(xiàn)，在圖①或圖②中連接某兩個已知點，得到的線段與AD和BC都相等，這條線段是 ．
請完成以上填空；
（2）請結合以上三位同學的討論，對圖②所示的情況下，證明AD=BC；
小峰突然提出一個問題：通過剛才的證明，我們可以知道當直線與雙曲線的兩個交點都在第一象限時， 總是成立的，但我發(fā)現(xiàn)當k的取值不同時，這兩個交點有可能在不同象限，結論還成立嗎？
（3）請你結合小峰提出的問題，在圖③中畫出示意圖，并判斷結論是否成立．若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）四邊形OHCF,四邊形OIDG,6,GH
（2）解：成立，

如圖①，連接 ， ， ，

∵點 ， 是反比例圖象上的點，

∴ ．

∴ ．

∴ ．

∴點 ， 到 的距離相等．

∴ ∥ ．

∴四邊形 和四邊形 都是平行四邊形．

∴ ， ．

即 ．

（3）解：畫出圖形，得到 ，

∵點 ， 是反比例圖象上的點，

∴ ．

∴ ．

∴ ．

∴點 ， 到 的距離相等．

∴ ∥ ．

∴四邊形 和四邊形 都是平行四邊形．

∴ ， ．

即 ．

【解析】（1）利用反比例函數(shù)的比例系數(shù)k 的幾何意義，矩形面積=可得出答案;（2）利用基本事實：同底三角形，若面積相等，則第三個頂點的連線和底邊平行；（3）借鑒（2）的方法可證得結論仍成立.
【考點精析】關于本題考查的比例系數(shù)k的幾何意義，需要了解幾何意義：表示反比例函數(shù)圖像上的點向兩坐標軸所作的垂線段與兩坐標軸圍成的矩形的面積才能得出正確答案．