Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為x=且經過點C（0，-3）和點F（3，）．
（1）求拋物線的解析式：
（2）如圖1，設拋物線y=ax²+bx+c與x 軸交于A、B兩點，與y 軸交于點C，過A、B、C三點的⊙M交y 軸于另一點D，連接AD、DB，設∠CDB=α，∠ADC=β，求cos（α-β）的值；
（3）如圖2，作∠CDB的平分線DE交⊙M于點E，連接BE，問：在坐標軸上是否存在點P，使得以P、D、E為頂點的三角形與△DEB相似．若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標（不包括點B）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵C（0，-3），
∴y=ax²+bx-3，
∵，
∴b=-2a，
∴y=ax²-2ax-3，
∵-2=3²a-2a×3-3，解得a=，
∴b=-2a=，
∴y=x²-x-3；

（2）由x²-x-3=0，解得：x₁=，x₂=3，
∴A（，0），B（3，0），
連接AC、BC，
∵C（0，-3），
∴tan∠ACO=，
∴∠ACO=30°，
∵OC²=3²=9=×3=OA•OB，即，
∵∠COB=90°=∠AOC，
∴△COB∽△AOC，
∴∠CBO=∠ACO=30°，
∴∠BCO=60°，
∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=30°+60°=90°，
∴AB為⊙M的直徑，
∴點M為AB的中點，
∴∠ADC=∠ACO=30°，
∴β=60°，α=30，
∴α-β=60°-30°=30°，
∴cos（α-β）=cos30°=；

（3）連接CE，
∵∠CDE=∠ADC=30°，∠DEC=∠ADO+∠ACO=30°+30°=60°，
∴∠DCE=90°，
∴DE為⊙M的直徑，
∴△DEB為直角三角形．
∴以DE為邊的直角三角形有以下兩種：
①若以DE為斜邊，連接AE，顯然△EDA∽△DEB、△DEC∽△DEB，
∴點P₁（，0），P₂（0，-3）．
②若以DE為直角邊，不存在以點D為直角頂點的三角形滿足條件．過點E作EP⊥DE交y軸于點P，則△DPE∽△DEB，
∵AC===2，∠CDE=∠ADC=30°，
∴CE=AC=2，
∵EP為⊙M的切線，
∴∠CEP=∠CDE=30°，
∴=tan∠CEP=tan30°=，
∴CP=CE=×2=2，
∴OP=OC+CP=3+2=5，
∴P（0，-5）．
綜上所述，滿足條件的點P共有3個，其坐標分別為：P（0，-5）、P₁（，0）、P₂（0，-3）．
分析：（1）先根據C點坐標求出c的值，再根據對稱軸為x=得出a、b之間的關系，由拋物線過F點即可求出此拋物線的解析式；
（2）由（1）中拋物線的解析式可求出A、B的坐標，連接AC、BC，利用銳角三角函數的定義可得出∠ACO的度數，
由相似三角形的判定可知△COB∽△AOC，故可得出∠CBO=∠ACO=30°，由圓周角定理可知AB為⊙M的直徑，進而可得出α、β的值，由特殊角的三角函數值即可得出結論；
（3）連接CE，由圓周角定理可知DE為⊙M的直徑，以DE為邊的直角三角形有以下兩種：
①若以DE為斜邊，連接AE，顯然△EDA∽△DEB、△DEC∽△DEB，由相似三角形的性質可求出P點坐標；
②若以DE為直角邊，不存在以點D為直角頂點的三角形滿足條件．過點E作EP⊥DE交y軸于點P，則△DPE∽△DEB，先根據勾股定理求出AC的長，可得出∠CDE=∠ADC=30°及CE=AC=2，根據EP為⊙M的切線，可求出∠CEP=∠CDE=30°，由銳角三角函數的定義可求出CP的長，由OP=OC+CP得出OP的長，求出P點坐標即可．
點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求二次函數、一次函數的關系式，銳角三角函數的定義及特殊角的三角函數值，切線的性質，熟知以上知識是解答此題的關鍵．