Question

【題目】如圖，已知直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式．

（2）在直線下方的拋物線上求點(diǎn)，求的面積等于20．

（3）若在拋物線上，作軸于點(diǎn)，若和相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（－2，3）或（4，0）；（3）或或或

【解析】

(1)根據(jù)拋物線相交于，兩點(diǎn)，用待定系數(shù)法列方程組求解即可得到答案；

(2)作PD//y軸，交AB于點(diǎn)D，設(shè)，則，把BD的長度表示出來，再根據(jù)三角形的面積公式列等式，求解即可得到答案；

(3)先用勾股定理的逆定理證明∠AOB=，再分CPO∽OBA 或者CPO∽OBA兩種情況討論即可得到答案；

解：（1）∵拋物線相交于，兩點(diǎn)，

將A（－4，8），B(6，3)代入，聯(lián)立得：

，

解得，

所求的拋物線的解析式為：．

（2）如圖，作PD//y軸，交AB于點(diǎn)D，

設(shè)，則，

∴ ，

，

∴，

解得：，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

故所求的點(diǎn)P為（－2，3）或（4，0）．

（3）設(shè)，如圖，

根據(jù)勾股定理得到：，

，，

∴，

∴∠AOB=（勾股定理的逆定理），

∠AOB=∠PCO，

當(dāng)時(shí)，CPO∽OBA ．

即：，

整理得：，

解方程：，得（舍去），，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；

解方程：，得（舍去），，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為．

當(dāng)時(shí)，CPO∽OBA ．

解即：，

整理得：，

解方程：，得（舍去），，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為．

解方程：，得（舍去），，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

綜上所述，所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或或或．