Question

【題目】（1）（發現證明）

如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別是BC，CD邊上的動點，且∠EAF＝45°，求證：EF＝DF+BE．

小明發現，當把△ABE繞點A順時針旋轉90°至△ADG，使AB與AD重合時能夠證明，請你給出證明過程．

（2）（類比引申）①如圖2，在正方形ABCD中，如果點E，F分別是CB，DC延長線上的動點，且∠EAF＝45°，則（1）中的結論還成立嗎？請寫出證明過程．

②如圖3，如果點E，F分別是BC，CD延長線上的動點，且∠EAF＝45°，則EF，BE，DF之間的數量關系是　 （不要求證明）

（3）（聯想拓展）如圖1，若正方形ABCD的邊長為6，AE＝3，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①不成立，結論：EF＝DF﹣BE；證明見解析；②BE＝EF+DF；（3）AF＝．

【解析】

（1）【發現證明】

證明△EAF≌△GAF，可得出EF＝FG，則結論得證；

（2）【類比引申】

①將△ABE繞點A順時針旋轉90°至△ADM根據SAS可證明△EAF≌△MAF，可得EF＝FM，則結論得證；

②將△ADF繞點A逆時針旋轉90°至△ABN，證明△AFE≌△ANE，可得出EF＝EN，則結論得證；

（3）【聯想拓展】

求出DG＝2，設DF＝x，則EF＝DG＝x+3，CF＝6﹣x，在Rt△EFC中，得出關于x的方程，解出x則可得解．

（1）【發現證明】

證明：把△ABE繞點A順時針旋轉90°至△ADG，如圖1，

∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，

∵∠EAF＝45°，

∴∠BAE+∠FAD＝45°，

∴∠DAG+∠FAD＝45°，

∴∠EAF＝∠FAG，

∵AF＝AF，

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF＝FG＝DF+DG，

∴EF＝DF+BE；

（2）【類比引申】

①不成立，結論：EF＝DF﹣BE；

證明：如圖2，將△ABE繞點A順時針旋轉90°至△ADM，

∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，

∴∠FAM＝45°＝∠EAF，

∵AF＝AF，

∴△EAF≌△MAF（SAS），

∴EF＝FM＝DF﹣DM＝DF﹣BE；

②如圖3，將△ADF繞點A逆時針旋轉90°至△ABN，

∴AN＝AF，∠NAF＝90°，

∵∠EAF＝45°，

∴∠NAE＝45°，

∴∠NAE＝∠FAE，

∵AE＝AE，

∴△AFE≌△ANE（SAS），

∴EF＝EN，

∴BE＝BN+NE＝DF+EF．

即BE＝EF+DF．

故答案為：BE＝EF+DF．

（3）【聯想拓展】

解：由（1）可知AE＝AG＝3，

∵正方形ABCD的邊長為6，

∴DC＝BC＝AD＝6，

∴＝＝3．

∴BE＝DG＝3，

∴CE＝BC﹣BE＝6﹣3＝3，

設DF＝x，則EF＝DG＝x+3，CF＝6﹣x，

在Rt△EFC中，∵CF2+CE2＝EF2，

∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，

解得：x＝2．

∴DF＝2，

∴AF＝＝＝2．