Question

【題目】如圖，觀察每個正多邊形中的變化情況，解答下列問題：

（1）將下面的表格補充完整：

正多邊形的邊數	3	4	5	6	…	15
的度數					…

（2）根據規律，是否存在一個正邊形，使其中？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由；

（3）根據規律，是否存在一個正邊形，使其中？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）60°，45°，36°，30°，12°；（2）存在，n=18；（3）不存在，理由見解析．

【解析】

（1）根據多邊形內角和公式求出每個內角的度數，再根據三角形內角和及等腰三角形的性質求解即可；

（2）根據表中的結果得出規律，根據規律得出方程，求出方程的解即可；

（3）根據表中的結果得出規律，根據規律得出方程，求出方程的解即可．

解：（1）根據正多邊形的內角和公式可知，正n邊形的內角和=(n-2)×180°，故n邊形一個內角度數=，

當正多邊形有3條邊時，一個內角度數==60°，則∠α==60°；

當正多邊形有4條邊時，一個內角度數==90°，則∠α==45°；

當正多邊形有5條邊時，一個內角度數==108°，則∠α==36°；

當正多邊形有6條邊時，一個內角度數==120°，則∠α==30°；

．．．

當正多邊形有15條邊時，內角度數==156°，則∠α==12°．

故答案為：60°，45°，36°，30°，12°；

（2）存在．

由（1）可知，，

設存在正多邊形使得，則，，

∴存在一個正多邊形使；

（3）不存在，理由如下：

設存在多邊形使得，則，（不是整數），

∴不存在一個多邊形使．