Question

【題目】如圖，拋物線（a≠0）經過點A（4，﹣5），與x軸的負半軸交于點B，與y軸交于點C，且OC=5OB，拋物線的頂點為點D．

（1）求這條拋物線的表達式；

（2）聯結AB、BC、CD、DA，求四邊形ABCD的面積；

（3）如果點E在y軸的正半軸上，且∠BEO=∠ABC，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）18；（3）E（0，）．

【解析】

試題分析：（1）先得出C點坐標，再由OC=5BO，得出B點坐標，將A、B兩點坐標代入解析式求出a，b；

（2）分別算出△ABC和△ACD的面積，相加即得四邊形ABCD的面積；

（3）由∠BEO=∠ABC可知，tan∠BEO=tan∠ABC，過C作AB邊上的高CH，利用等面積法求出CH，從而算出tan∠ABC，而BO是已知的，從而利用tan∠BEO=tan∠ABC可求出EO長度，也就求出了E點坐標．

試題解析：（1）∵拋物線與y軸交于點C，∴C（0，﹣5），∴OC=5．

∵OC=5OB，∴OB=1，又點B在x軸的負半軸上，∴B（﹣1，0）．

∵拋物線經過點A（4，﹣5）和點B（﹣1，0），∴，解得，∴這條拋物線的表達式為；

（2）由，得頂點D的坐標為（2，﹣9）．連接AC，∵點A的坐標是（4，﹣5），點C的坐標是（0，﹣5），又S△ABC=×4×5=10，S△ACD=×4×4=8，∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=18；

（3）過點C作CH⊥AB，垂足為點H．

∵S△ABC=×AB×CH=10，AB=，∴CH=，在RT△BCH中，∠BHC=90°，BC=，BH==，∴tan∠CBH=．∵在RT△BOE中，∠BOE=90°，tan∠BEO=，∵∠BEO=∠ABC，∴=，得EO=，∴點E的坐標為（0，）．