Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A（3，0），點B（0，3

3

），連接AB，動點P從A點開始沿折線AO-OB-BA運動，點P在AO、OB、BA上運動的速度分別為1，

3

，2（長度單位/秒）；同時直線l從x軸的位置開始以

3

3

（長度單位/秒）的速度向上平行移動，且分別與OB、AB交于E、F兩點，設動點P與動直線l同時出發，運動時間為t秒，當點P沿折線AO-OB-BA運動一周時，直線l和動點P同時停止運動．
請解答下列問題：
（1）過A、B兩點的直線表達式是

y=-

3

x+3

3

．
（2）當t=4時，點P坐標為

（0，

3

）

，當t=

9

2

時，點P與點E重合；
（3）作點P關于直線l的對稱點P′，在運動過程中，若形成的四邊形PEP′F為菱形，則t的值是多少？
（4）當t=2時，是否存在點Q，使△FEQ∽△BEP？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求得過A、B兩點的直線表達式；
（2）此題要掌握點P的運動路線，要掌握點P在不同階段的運動速度，即可求得；
（3）此題需要分三種情況分析：點P在線段OA上，在線段OB上，在線段AB上；根據菱形的判定可知：在線段EF的垂直平分線上與x軸的交點，可求的一個；當點P在線段OB上時，形成的是三角形，不存在菱形；當點P在線段BA上時，根據對角線互相平分且互相垂直的四邊形是菱形求得．
（4）當t=2時，可求的點P的坐標，即可確定△BEP，根據相似三角形的判定定理即可求得點Q的坐標，解題時要注意答案的不唯一性．

解答：解：（1）設過A、B兩點的直線表達式為y=ax+b（a、b為常數，且a≠0）．
∵點A的坐標是（3，0），點B的坐標是（0，3

3

），
∴

0=3a+b 3 3 =b

，
解得，

a=- 3 b=3 3

，
∴過A、B兩點的直線表達式為：y=-

3

x+3

3

；

（2）∵點A的坐標是（3，0），
∴OA=3；
又∵點P在AO、OB、BA上運動的速度分別為1，

3

，
∴當t=4時，點P在線段OB上，且OP=（4-3÷1）×

3

=

3

，
∴點P的坐標是（0，

3

）；
當點P與點E重合時，

OE

3 3

=

OE

3

+

OA

1

=

OE

3

+3，
解得OE=

3 3

2

，
∴t=

3 3 2

3 3

=

9

2

；

（3）①當點P在線段AO上時，過F作FG⊥x軸，G為垂足（如圖1）
∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°
∴△EOP≌△FGP，
∴OP=PG﹒
又∵OE=FG=

3

3

t，∠A=60°，
∴AG=

FG

tan60°

=

1

3

t
而AP=t，
∴OP=3-t，PG=AP-AG=

2

3

t
由3-t=

2

3

t得t=

9

5

；
②當點P在線段OB上時，形成的是三角形，不存在菱形；
③當點P在線段BA上時，過P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分別為垂足（如圖2）
∵OE=

3

3

t，
∴BE=3

3

-

3

3

t，
∴EF=

BE

tan60°

=3-

t

3

，
∴MP=EH=

1

2

EF=

9-t

6

，
又∵BP=2（t-6）
在Rt△BMP中，BP•cos60°=MP
即2（t-6）•

1

2

=

9-t

6

，
解得t=

45

7

；

（4）存在；理由如下：
∵t=2，∴OE=

2

3

3

，AP=2，OP=1
將△BEP繞點E順時針方向旋轉90°，得到△B'EC（如圖3）
∵OB⊥EF，
∴點B'在直線EF上，
∵C點橫坐標絕對值等于EO長度，C點縱坐標絕對值等于EO-PO長度
∴C點坐標為（-

2

3

3

，

2

3

3

-1）
過F作FQ∥B'C，交EC于點Q，
則△FEQ∽△B'EC
由

BE

FE

=

B′E

FE

=

CE

QE

=

3

，可得Q的坐標為（-

2

3

，

3

3

）；
根據對稱性可得，Q關于直線EF的對稱點Q'（-

2

3

，

3

）也符合條件．
故答案是：（1）y=-

3

x+3

3

；（2）（0，

3

）；

9

2

．

點評：本題考查了一次函數綜合題．解題的關鍵要注意數形結合思想的應用，還要注意答案的不唯一性．