Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AE是弦，OG⊥AE于點G，交⊙O 于點D，連結BD交AE于點F，延長AE至點C，連結BC．

(1)當BC=FC時，證明：BC是⊙O的切線；

(2)已知⊙O的半徑，當tanA=，求GF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1

【解析】

（1）由OD⊥AE可知∠D+∠GFD=90°，由等腰三角形的性質可得∠BFC=∠FBC，∠OBD=∠D，從而可證∠OBC=90°；

(2) 連接 BE，在Rt△AOG中，可求出OG= 3， AG=4，由垂徑定理得GE= AG=4，然后通過證明△FGD∽△FEB，可求出GF的長.

(1)證明：∵OD⊥AE．

∴∠D+∠GFD=90°．

∵BC=FC，

∴∠BFC=∠FBC．

∵∠BFC=∠GFD，

∴∠GFD=∠FBC．

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠D．

∴∠OBD+∠CBF=∠D+∠GFD=90°．

即∠OBC=90°．

∴BC是的切線．

(2) 連接 BE，

∵⊙O半徑，tanA=，

∴sinA=,cosA=．

∴在Rt△AOG中，OG=OA sinA=5×=3， AG=OA cosA=5×=4=GE．

∴GD=OD－OG=5－3=2．

∵OG⊥AE，

∴AG=GE．

∴OG是△ABE的中位線，

∴BE=2OG=6，BE∥OD．

∴∠D=∠FBE,∠BEF=∠FGD．

∴△FGD∽△FEB．

∴．

∴．

∴GF=1．