Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+2交坐標軸于A、B兩點，直線AC⊥AB交x軸于點C，拋物線恰好過點A、B、C．

（1）求拋物線的表達式；

（2）當點M在線段AB上方的曲線上移動時，求四邊形AOBM的面積的最大值；

（3）點E在拋物線的對稱軸上，點F在拋物線上，是否存在點F使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在求出點F坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當a＝2時，S四邊形AOBM的面積最大，為8；（3）存在．

【解析】

（1）由直線y＝﹣x+2易確定A、B兩點坐標，又由AC⊥AB則易證明△ACO∽△BOC，利用相似比可確定C點坐標，再利用待定系數法直接求解即可．

（2）用待定系數法設出M點坐標和D點坐標，已表示出MD的長度為﹣a2+4a，再利用割補法表示△AMB的面積，將得到的表達式轉化為二次函數頂點式求解即可．

（3）利用平行四邊形的性質分別作AC∥EF，AE∥CF兩種情況的圖形使E在拋物線對稱軸上，F在拋物線上，利用待定系數法及圖形的性質求解即可．

解：（1）∵直線y＝﹣x+2交x軸于A、B兩點

∴A（0，2）、B（4，0）

由AC⊥AB得，△AOC∽△BOA．

∴．

∴OC＝1．

又∵C在x軸負半軸上

∴C（﹣1，0）．

設拋物線解析式y＝ax2+bx+c．

把A（0，2），B（4，0），C（﹣1，0）代入上式得，

，解得，

∴拋物線解析式為，y＝．

（2）如圖1，

過點M作MN⊥x軸，交直線AB與點D．

設M點橫坐標為a，則M（a， ），D（a，）

∴MD＝﹣（）＝

∴S△ABM＝MDBO＝（﹣a2+2a）4＝﹣a2+4a

∴S四邊形AOBM＝﹣a2+4a+×2×4＝﹣（a﹣2）2+8

故當a＝2時，S四邊形AOBM的面積最大，為8．

（3）存在．

如圖2﹣1，

當AC∥EF，F在對稱軸左側時，可以看作把△AOC沿水平向右平移至OA與對稱軸重合時，再將其向上平移，恰好使點A與點E重合，點C與點F重合．

此時四邊形ACFE為平行四邊形．

∴FD＝OC＝1．

∴點F的橫坐標為，x＝．

當x＝時，y＝﹣×（）2+×+2＝．

即此時F（，）．

如圖2﹣2，

當AC∥EF，F在對稱軸右側時，把△EFG繞點G旋轉180°恰好與拋物線相交于F，則四邊形ACEF為平行四邊形．

此時易得F點縱坐標為，y＝．

當y＝時，﹣x2+x+2＝0．

解得，x＝（舍去）或x＝．

此時F（，）．

如圖2﹣3，

以線段AC為對角線作AECF，過A作AG垂直于對稱軸直線于點G．過點F作FD⊥x軸交于點D．

∴AG＝1.5

又∵△AGE≌△CDF

∴CD＝1.5

∴D點坐標為（﹣2.5，0）

∴當x＝﹣2.5時，y＝﹣×（﹣）2+×（﹣）+2＝﹣

∴此時F（﹣，﹣）．

綜上所述，滿足題意的F點坐標有，（，），（，），（﹣，﹣）．