Question

【題目】如圖，在RtABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，動點P從點C出發以1cm/s的速度沿CA勻速運動，同時動點Q從點A出發以的速度沿AB勻速運動，當點P到達點A時，點P、Q同時停止運動，設運動時間為他t(s)．

（1）當t為何值時，點B在線段PQ的垂直平分線上？

（2）是否存在某一時刻t，使APQ是以PQ為腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（3）以PC為邊，往CB方向作正方形CPMN，設四邊形QNCP的面積為S，求S關于t的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1） （2）存在，或2 （3）

【解析】

（1）連接PB，由點B在線段PQ的垂直平分線上，推出BP=BQ，由此構建方程即可解決問題；（2）分兩種情形分別構建方程求解即可；（3）如圖4中，連接QC，作QE⊥AC于E，作QF⊥BC于F．則QE=AE，，可得QE+QF=AE+EC=AC=4．根據S=，計算即可；

（1）如圖1中，連接．

在中，，，

點在線段的垂直平分線上，

，

，，

，，

，

解得或（舍棄），

時，點在線段的垂直平分線上．

（2）①如圖2中，當時，易知是等腰直角三角形，．

則有，

，

解得．

②如圖3中，當時，易知是等腰直角三角形，．

則有：，

，

解得，

綜上所述：或時，是以為腰的等腰三角形．

（3）如圖4中，連接，作于，作于．則，，可得．

．