Question

【題目】已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．點Q是線段AC上的一個動點，過點Q作AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的延長線（如圖2）于點P．

（1）當點P在線段AB上時，求證：△APQ∽△ABC；

（2）當△PQB為等腰三角形時，求AP的長．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠APQ=∠C。

在△APQ與△ABC中，∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，

∴△APQ∽△ABC。

（2）在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5。

∵∠BPQ為鈍角，∴當△PQB為等腰三角形時，只可能是PB=PQ。

（I）當點P在線段AB上時，如題圖1所示，

由（1）可知，△APQ∽△ABC，

∴，即，解得：。

∴。

（II）當點P在線段AB的延長線上時，如題圖2所示,

∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P。

∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，∴∠AQB=∠A。∴BQ=AB。

∴AB=BP，點B為線段AB中點。

∴AP=2AB=2×3=6。

綜上所述，當△PQB為等腰三角形時，AP的長為或6。

【解析】

試題（1）由兩對角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），證明△APQ∽△ABC。

（2）當△PQB為等腰三角形時，有兩種情況，需要分類討論．

（I）當點P在線段AB上時，如題圖1所示．由三角形相似（△APQ∽△ABC）關系計算AP的長；

（II）當點P在線段AB的延長線上時，如題圖2所示．利用角之間的關系，證明點B為線段AP的中點，從而可以求出AP。