Question

【題目】已知：如圖，是半圓的直徑，弦，動(dòng)點(diǎn)、分別在線段、上，且，的延長(zhǎng)線與射線相交于點(diǎn)、與弦相交于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)、不重合），，．設(shè)，的面積為．

（1）求證：；

（2）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍

（3）當(dāng)是直角三角形時(shí)，求線段的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（<x<10）.

（3）線段OP的長(zhǎng)為8．

【解析】

試題分析：（1）連接OD，通過證明△AOP≌△ODQ后即可證得AP=OQ；

（2）作PH⊥OA，根據(jù)cos∠AOC=得到OH=PO=x，從而得到S△AOP=AOPH=3x，利用三角形相似得當(dāng)對(duì)應(yīng)

邊的比相等即可得到函數(shù)解析式；

（3）分類討論：當(dāng)∠POE=90°時(shí)、當(dāng)∠OPE=90°時(shí)、當(dāng)∠OEP=90°時(shí)三種情況討論即可得到正確的結(jié)論.

試題解析：（1）連接OD，在△AOP和△ODQ中，∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∵,∴∠OCD=∠COA,∠POA=∠QDO.在△AOP和△ODQ中，

，∴△AOP≌△ODQ，∴AP=OQ；

（2）作PH⊥OA交OA于H，∵cos∠AOC=，∴OH= PO= x，PH=x，

∴S△AOP= AOPH=3x，∵,∴△PFC∽△PAO,，

∴,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D 重合時(shí)，∵CD=2OC cos∠OCD=2×10×=16，

解得x=,∴（<x<10）；

（3）當(dāng)∠POE=90°時(shí)，CQ= ，∴PO=DQ=CD﹣CQ= ,∵<x<10,∴PO=（舍）；

當(dāng)∠OPE=90°時(shí)，∠OPA=90°,∴PO=AOcos∠COA=8；

當(dāng)∠OEP=90°時(shí)，∵,∴∠AOQ=∠DQO=∠APO，∴∠AOP=∠AEO=90°,此時(shí)弦CD不存在，此種情況不符合題意，舍；

綜上，線段OP的長(zhǎng)為8．