Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，D為⊙O上的一點，CD=CB，延長CD交BA的延長線于點E．

（1）求證：CD為⊙O的切線；

（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求圖中陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

【答案】解：（1）證明：連接OD，

∵BC是⊙O的切線，∴∠ABC=90°。

∵CD=CB，∴∠CBD=∠CDB。

∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB。

∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD⊥CD。

∵點D在⊙O上，∴CD為⊙O的切線。

（2）在Rt△OBF中，∵∠ABD=30°，OF=1，∴∠BOF=60°，OB=2，BF=。

∵OF⊥BD，∴BD=2BF=2，∠BOD=2∠BOF=120°，

∴。

【解析】（1）連接OD，由BC是⊙O的切線，可得∠ABC=90°，由CD=CB，OB=OD，易證得∠ODC=∠ABC=90°，即可證得CD為⊙O的切線。

（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的長，∠BOD的度數，又由，即可求得答案。