Question

如圖，現有兩塊全等的直角三角形紙板Ⅰ，Ⅱ，它們兩直角邊的長分別為1和2。將它們分別放置于平面直角坐標系中的△AOB，△COD處，直角邊OB，OD在x軸上．一直尺從上方緊靠兩紙板放置，讓紙板Ⅰ沿直尺邊緣平行移動．當紙板Ⅰ移動至△PEF處時，設PE，PF與OC分別交于點M，N，與x軸分別交于點G，H。

（1）求直線AC所對應的函數關系式；
（2）當點P是線段AC（端點除外）上的動點時，試探究：
①點M到x軸的距離h與線段BH的長是否總相等？請說明理由；
②兩塊紙板重疊部分（圖中的陰影部分）的面積S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及S取最大值時點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）由直角三角形紙板的兩直角邊的長為1和2， 知A，C兩點的坐標分別為（1，2），（2，1）， 設直線AC所對應的函數關系式為y=kx+b， 有，解得：， 所以，直線AC所對應的函數關系式為y=-x+3。
（2）①點M到x軸距離h與線段BH的長總相等， 因為點C的坐標為（2，1）， 所以，直線OC所對應的函數關系式為， 又因為點P在直線AC上，所以可設點P的坐標為（a，3-a）， 過點M作x軸的垂線，設垂足為點K，則有MK=h， 因為點M在直線OC上，所以有M（2h，h）， 因為紙板為平行移動，故有EF∥OB，即EF∥GH， 又EF⊥PF，所以PH⊥GH。 故， 從而有， 化簡，得， ， 所以， 又， 所以，化簡，得， 而， 從而總有。 ②由①知，點M的坐標為，點N的坐標為， ∴         ， 所以，當時，S有最大值，最大值為， S取最大值時點P的坐標為。