Question

如圖，現有兩塊全等的直角三角形紙板Ⅰ，Ⅱ，它們兩直角邊的長分別為1和2．將它們分別放置于平面直角坐標系中的△AOB，△COD處，直角邊OB，OD在x軸上．一直尺從上方緊靠兩紙板放置，讓紙板Ⅰ沿直尺邊緣平行移動．當紙板Ⅰ移動至△PEF處時，設PE，PF與OC分別交于點M，N，與x軸分別交于點G，H．
（1）求直線AC所對應的函數關系式；
（2）當點P是線段AC（端點除外）上的動點時，試探究：
①點M到x軸的距離h與線段BH的長是否總相等？請說明理由；
②兩塊紙板重疊部分（圖中的陰影部分）的面積S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及S取最大值時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據直角三角板的直角邊長分別為1和2可知：AB=OD=2，OB=CD=1．即A點的坐標是（1，2）；C點的坐標是（2，1）．可根據A、C的坐標用待定系數法求出直線AC的函數解析式．
（2）①M到x軸的距離就是M的縱坐標，而BH的長就是P的橫坐標減去OB的長，可先根據直線AC的解析式設出P點的坐標，那么可得出BH的長．根據∠GPH的正切值，可表示出GH的長，也就求出了G點的坐標．然后求點M的縱坐標．可先根據OC所在直線的解析式設出M點的坐標，然后將M點的坐標代入直線PG的解析式中（可根據P，G兩點的坐標求得）可得出M縱坐標的表達式，然后同BH的表達式進行比較即可得出M到x軸的距離是否與BH相等．
②根據①我們可得出M、N、G三點的坐標，然后根據陰影部分的面積=△ONH的面積-△OMG的面積．即可得出關于S的函數解析式．然后根據函數的性質即可求出S的最大值以及對應的P的坐標．

解答：解：（1）由直角三角形紙板的兩直角邊的長為1和2，
知A，C兩點的坐標分別為（1，2），（2，1）．
設直線AC所對應的函數關系式為y=kx+b．
有

k+b=2 2k+b=1

解得

k=-1 b=3

∴直線AC所對應的函數關系式為y=-x+3．

（2）①點M到x軸距離h與線段BH的長總相等．
∵點C的坐標為（2，1），
∴直線OC所對應的函數關系式為y=

1

2

x．
又∵點P在直線AC上，
∴可設點P的坐標為（a，3-a）．
過點M作x軸的垂線，設垂足為點K，則有MK=h．
∵點M在直線OC上，
∴有M（2h，h）．
∵紙板為平行移動，
故有EF∥OB，即EF∥GH．
又EF⊥PF，∴PH⊥GH．
故Rt△PHG∽Rt△PFE，可得

GH

PH

=

EF

PF

=

1

2

．
故GH=

1

2

PH=

1

2

（3-a）．
∴OG=OH-GH=a-

1

2

（3-a）=

3

2

（a-1）．
故G點坐標為（

3

2

（a-1），0）．
設直線PG所對應的函數關系式為y=cx+d，
則有

3-a=ca+d 0= 3 2 c(a-1)+d

解得

c=2 d=3-3a

∴直線PG所對的函數關系式為y=2x+（3-3a）
將點M的坐標代入，可得h=4h+（3-3a）．
解得h=a-1．
而BH=OH-OB=a-1，從而總有h=BH．
②由①知，點M的坐標為（2a-2，a-1），點N的坐標為（a，

1

2

a）．
S=S_△ONH-S_△OMG=

1

2

NH×OH-

1

2

OG×h=

1

2

×

1

2

a×a-

1

2

×

3a-3

2

×（a-1）
=-

1

2

a²+

3

2

a-

3

4

=-

1

2

(a-

3

2

)2+

3

8

．
當a=

3

2

時，S有最大值，最大值為

3

8

．
S取最大值時點P的坐標為(

3

2

，

3

2

)．

點評：本題著重考查了待定系數法求函數解析式、圖形平移變換、三角形相似等重要知識點，綜合性強，考查分類討論，數形結合的數學思想方法．