Question

【題目】小紅和小明在研究一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：已知AB∥CD，AB和CD都不經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，探索∠E與∠A，∠C的數(shù)量關(guān)系．
（1）發(fā)現(xiàn)：在圖1中，小紅和小明都發(fā)現(xiàn)：∠AEC=∠A+∠C； 小紅是這樣證明的：如圖7過(guò)點(diǎn)E作EQ∥AB．
∴∠AEQ=∠A（）
∵EQ∥AB，AB∥CD．
∴EQ∥CD（）
∴∠CEQ=∠C
∴∠AEQ+∠CEQ=∠A+∠C 即∠AEC=∠A+∠C．
小明是這樣證明的：如圖7過(guò)點(diǎn)E作EQ∥AB∥CD．
∴∠AEQ=∠A，∠CEQ=∠C
∴∠AEQ+∠CEQ=∠A+∠C即∠AEC=∠A+∠C
請(qǐng)?jiān)谏厦孀C明過(guò)程的橫線上，填寫(xiě)依據(jù)：
兩人的證明過(guò)程中，完全正確的是 ．
（2）嘗試： ①在圖2中，若∠A=110°，∠C=130°，則∠E的度數(shù)為；
②在圖3中，若∠A=20°，∠C=50°，則∠E的度數(shù)為 ．
（3）探索： 裝置圖4中，探索∠E與∠A，∠C的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（4）猜想： 如圖5，∠B、∠D、∠E、∠F、∠G之間有什么關(guān)系？（直接寫(xiě)出結(jié)論）
（5）如圖6，你可以得到什么結(jié)論？（直接寫(xiě)出結(jié)論）

Answer 1

【答案】
（1）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平行于同一直線的兩直線平行；小紅的證法
（2）120°；30°
（3）解：∠E=∠A﹣∠C．

理由：延長(zhǎng)EA，交CD于點(diǎn)F．

∵AB∥CD，

∴∠EFD=∠EAB

∵∠EFD=∠C+∠E

∴∠EAB=∠C+∠E

∴∠E=∠EAB﹣∠C．

（4）解：可通過(guò)過(guò)點(diǎn)E、F、G分別做AB的平行線，得到結(jié)論．

∠E+∠G=∠B+∠F+∠D

（5）解：同上道理一樣，可得到結(jié)論：∠E1+∠E2+…+∠En=∠F1+∠F2+…∠Fn﹣1+∠B+∠D．
【解析】解：（1.）∵小明的輔助線做不出來(lái)，所以兩人的證明過(guò)程中，小紅的完全正確；答案：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平行于同一直線的兩直線平行；小紅的證法． （2.）①過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．∵EF∥AB，
∴∠A+∠AEF=180°，
∵∠A=110°，∴∠AEF=70°．
∵EF∥CD，
∴∠C+∠CEF=180°，
∵∠C=130°，∴∠CEF=50°．
②∵AB∥CD，
∴∠EOB=∠C=50°
∵∠EOB=∠A+∠E，
∵∠E=∠EOB﹣∠A=50°﹣20°=30°．
答案：120°，30°．

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行線的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)．