Question

如圖所示，已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）尺規作圖：作∠BAC的平分線AM交BC于點D（只保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）所作圖形中，將Rt△ABC沿某條直線折疊，使點A與點D重合，折痕EF交AC于點E，交AB于點F，連接DE、DF，再展回到原圖形，得到四邊形AEDF．①試判斷四邊形AEDF的形狀，并證明；②若AC=8，CD=4，求四邊形AEDF的周長．

Answer 1

分析：（1）按作角的平分線步驟作即可；
（2）由題意和已知可知EF是線段AD的垂直平分線，AD是∠BAC的平分線，再證明△AEG≌△AFG，易得四邊相等，所以四邊形AEDF是菱形；
②在Rt△ECD中，根據勾股定理求得DE的值，則AE=DE，即可求得周長．

解答：解：（1）如圖，
寫出結論：射線AM就是所要求的角平分線；

（2）①四邊形AEDF是菱形．
證明：如圖，
根據題意，可知EF是線段AD的垂直平分線，
則AE=ED，AF=FD，∠AGE=∠AGF=90°，
由（1）可知，AD是∠BAC的平分線，
∴∠EAD=∠DAF．
∵∠AGE=∠AGF，AG=AG，
∴△AEG≌△AFG．
∴AE=AF∴AE=ED=DF=AF．
∴四邊形AEDF是菱形．

②設AE=x，則ED=x，CE=8-x，
在Rt△ECD中，4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，故4x=20．
即四邊形AEDF的周長是20．

點評：本題考查了圖形的折疊與拼接以及三角形、四邊形等幾何基本知識，解題時應分別對每一個圖形進行仔細分析．