Question

如圖所示，已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）尺規作圖：作∠BAC的平分線AM交BC于點D（只保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）所作圖形中，將Rt△ABC沿某條直線折疊，使點A與點D重合，折痕EF交AC于點E，交AB于點F，連接DE、DF，再展回到原圖形，得到四邊形AEDF．
①試判斷四邊形AEDF的形狀，并證明；
②若AC=8，CD=4，求四邊形AEDF的周長和BD的長．

Answer 1

分析：（1）按作角的平分線步驟作即可；
（2）由題意和已知可知EF是線段AD的垂直平分線，AD是∠BAC的平分線，再證明△AEG≌△AFG，易得四邊相等，所以四邊形AEDF是菱形；②在Rt△ECD中，根據勾股定理求得DE的值，則AE=DE，即可求得周長；求BD的長，可證明△BFD∽△BAC，根據比例線段求得．

解答：解：（1）如圖，（1分）
寫出結論：射線AM就是所要求的角平分線；（2分）

（2）①四邊形AEDF是菱形．（3分）
證明：如圖，
根據題意，可知EF是線段AD的垂直平分線，
則AE=ED，AF=FD，∠AGE=∠AGF=90°，
由（1）可知，AD是∠BAC的平分線，
∴∠EAD=∠DAF．
∵∠AGE=∠AGF，AG=AG，
∴△AEG≌△AFG．（4分）
∴AE=AF∴AE=ED=DF=AF．
∴四邊形AEDF是菱形．（5分）
②設AE=x，則ED=x，CE=8-x，
在Rt△ECD中，4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，∴4x=20．
即四邊形AEDF的周長是20．（7分）
由①可知，四邊形AEDF是菱形，
∴FD∥AC，
∴△BFD∽△BAC，
∴

BD

BC

=

DF

AC

，（8分）
∴

BD

BD+4

=

5

8

，
解得BD=

20

3

．
即BD的長是

20

3

．（10分）

點評：本題考查圖形的折疊與拼接，同時考查了三角形、四邊形等幾何基本知識，解題時應分別對每一個圖形進行仔細分析．