Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知Rt△AOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸、y軸的正半軸上（OA＜OB），且OA、OB的長分別是一元二次方程x2﹣14x+48=0的兩個根．線段AB的垂直平分線CD交AB于點C，交x軸于點D，點P是直線CD上一個動點，點Q是直線AB上一個動點．

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）求直線CD的解析式；

（3）在坐標平面內是否存在點M，使以點C、P、Q、M為頂點的四邊形是正方形，且該正方形的邊長為AB長？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（6，0），B（0，8）；

（2）y=x+；

（3）存在，M1（4，11），M2（﹣4，5），M3（2，﹣3），M4（10，3）

【解析】【試題分析】（1）利用因式分解法解方程x2﹣14x+48=0，求出x的值，即可得到A、B兩點的坐標；

（2）先在Rt△AOB中利用勾股定理求出AB==10，根據線段垂直平分線的性質得到AC=AB=5．再由兩角對應相等的兩三角形相似證明△ACD∽△AOB，由相似三角形對應邊成比例得出，求出AD=，得到D點坐標（﹣，0），根據中點坐標公式得出C（3，4），然后利用待定系數法即可求出直線CD的解析式；

（3）分兩種情況進行討論：①當點Q與點B重合時，先求出BM的解析式為y=x+8，設M（x， x+8），再根據BM=5列出方程（x+8﹣8）2+x2=52，解方程即可求出M的坐標；②當點Q與點A重合時，先求出AM的解析式為y=x﹣，設M（x， x﹣），再根據AM=5列出方程（x﹣）2+（x﹣6）2=52，解方程即可求出M的坐標．

【試題解析】

（1）解方程x2﹣14x+48=0，

得x1=6，x2=8，

∵OA＜OB，

∴A（6，0），B（0，8）；

（2）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，

∴AB==10，

∵線段AB的垂直平分線CD交AB于點C，

∴AC=AB=5．

在△ACD與△AOB中，

，

∴△ACD∽△AOB，

∴，即，

解得AD=，

∵A（6，0），點D在x軸上，

∴D（﹣，0）．

設直線CD的解析式為y=kx+b，

由題意知C為AB中點，

∴C（3，4），

∵D（﹣，0），

∴，解得，

∴直線CD的解析式為y=x+；

（3）在坐標平面內存在點M，使以點C、P、Q、M為頂點的四邊形是正方形，且該正方形的邊長為AB長．

∵AC=BC=AB=5，

∴以點C、P、Q、M為頂點的正方形的邊長為5，且點Q與點B或點A重合．分兩種情況：

當點Q與點B重合時，易求BM的解析式為y=x+8，設M（x， x+8），

∵B（0，8），BM=5，

∴（x+8﹣8）2+x2=52，

化簡整理，得x2=16，

解得x=±4，

∴M1（4，11），M2（﹣4，5）；

當點Q與點A重合時，易求AM的解析式為y=x﹣，設M（x， x﹣），

∵A（6，0），AM=5，

∴（x﹣）2+（x﹣6）2=52，

化簡整理，得x2﹣12x+20=0，

解得x1=2，x2=10，

∴M3（2，﹣3），M4（10，3）；

綜上所述，所求點M的坐標為M1（4，11），M2（﹣4，5），M3（2，﹣3），M4（10，3）．