Question

【題目】（操作發現）三角形三個頂點與重心的連線段，將該三角形面積三等分.

（1）如圖①：中，中線、、相交于點.求證：.

（提出問題）如圖②，探究在四邊形中，是邊上任意一點，與和的面積之間的關系.

（2）為了解決這個問題，我們可以先從一些簡單的、特殊的情形入手：

如圖③，當時，探求與和之間的關系，寫出求解過程.

（問題解決）

（3）推廣，當（表示正整數）時，直接寫出與和之間的關系：____________.

（4）一般地，當時，與和之間的關系式為：____________.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）；（4）.

【解析】

（1）利用三角形的中線的性質，解決問題即可．
（2）結論：．根據S△PBC=S四邊形ABCD-S△ABP-S△CDP=S四邊形ABCD-S△ABD-S△CDA=S四邊形ABCD-（S四邊形ABCD-S△DBC）-（S四邊形ABCD-S△ABC）化簡計算即可．

（3）根據,△ABP和△ABD的高相等，得到，根據△CDP和△CDA的高相等，得到，整理即可；
（4）與（3）的解答方法類似，計算即可．

（1）證明：如圖①中，

∵BD=CD，

∵G是重心，
∴AG=2DG，

（2）結論：；

理由：如圖③中，

當時，

∵，和的高相等，

∴，

∵，和的高相等，

∴.

∴

.

（3）結論：；

理由：

∵，和的高相等，

∴.

又∵，和的高相等，

∴，

∴

.

∴.

故答案為：

（4）結論：.

理由是：

∵，和的高相等，

∴.

又∵，和的高相等，

∴，

∴

.

∴.

故答案為：