Question

等腰△ABC的直角邊AB=BC=10cm，點P、Q分別從A、C兩點同時出發，均以1cm/秒的相同速度作直線運動，已知P沿射線AB運動，Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D．設P點運動時間為t，△PCQ的面積為S．

（1）求出S關于t的函數關系式；

（2）當點P運動幾秒時，S△PCQ=S△ABC？

（3）作PE⊥AC于點E，當點P、Q運動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結論．

Answer 1

（1）當t＜10秒時，S=(10tt2)，t＞10秒時，s=(t210t)；（2）5+5秒；（3）不會改變.

【解析】

試題分析：由題可以看出P沿AB向右運動，Q沿BC向上運動，且速度都為1cm/s，S=QC×PB，所以求出QC、PB與t的關系式就可得出S與t的關系，另外應注意P點的運動軌跡，它不僅在B點左側運動，達到一定時間后會運動到右側，所以一些問題可能會有兩種可能出現的情況，這時我們應分類回答．

試題解析：（1）當t＜10秒時，P在線段AB上，此時CQ=t，PB=10-t

∴s=×t×(10t)=(10tt2)

當t＞10秒時，P在線段AB得延長線上，此時CQ=t，PB=t-10

∴s=×t×(t10)=(t210t)

（2）∵S△ABC=ABBC=50

∴當t＜10秒時，S△PCQ=(10tt2)=50

整理得t2-10t+100=0無解

當t＞10秒時，S△PCQ=(t210t)=50

整理得t2-10t-100=0解得x=5±5（舍去負值）

∴當點P運動5+5秒時，S△PCQ=S△ABC.

（3）當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變

證明：過Q作QM⊥AC，交直線AC于點M

易證△APE≌△QCM，

∴AE=PE=CM=QM=t，

∴四邊形PEQM是平行四邊形，且DE是對角線EM的一半

又∵EM=AC=10

∴DE=5

∴當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變

考點：1.一元二次方程的應用；2.全等三角形的應用．

考點分析： 考點1：二次函數 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數，a≠0），那么y叫做x 的二次函數。
①所謂二次函數就是說自變量最高次數是2;
②二次函數（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數，自變量x 的取值范圍是全體實數，b和c可以是任意實數，a是不等于0的實數，因為a=0時，變為y=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數，若b=0，則y=c是一個常數函數。
③二次函數（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯系，如果將變量y換成一個常數，那么這個二次函數就是一個一元二次函數。 二次函數的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數，a≠0）；
（2）頂點式： （a，h，k是常數，a≠0）
（3）當拋物線與x軸有交點時，即對應二次好方程有實根x₁和x₂存在時，根據二次三項式的分解因式，二次函數可轉化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。

二次函數的一般形式的結構特征：
①函數的關系式是整式；
②自變量的最高次數是2；
③二次項系數不等于零。 二次函數的判定：
二次函數的一般形式中等號右邊是關于自變量x的二次三項式；
當b=0，c=0時，y=ax²是特殊的二次函數；
判斷一個函數是不是二次函數，在關系式是整式的前提下，如果把關系式化簡整理（去括號、合并同類項）后，能寫成（a≠0）的形式，那么這個函數就是二次函數，否則就不是。 試題屬性

• 題型：
• 難度：
• 考核：
• 年級：