Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝15，AD＝20，P是AD邊上不與A和D重合的一個動點，過點P分別作AC和BD的垂線，垂足為E，F，則PEPF的最大值為_____．

Answer 1

【答案】36．

【解析】

設AP＝x，則PD＝20﹣x，通過證△APE∽△ACD，△DPF∽△DBA，分別用含x的代數式將PE，PF表示出來，并算出其乘積，然后用二次函數的性質求出其最大值即可．

在Rt△ABD中，BD＝＝＝25，

∵PE⊥AC，PF⊥BD，四邊形ABCD是矩形，

∴∠PEA＝∠CDA＝∠PFD＝∠BAD=90°，AC=BD=25，CD=AB=15，

∵∠PAE＝∠CAD，∠PEA＝∠CDA=90°，

∴△APE∽△ACD，

∴＝＝，

∵∠PDF＝∠BDA，∠PFD=∠BAD=90°，

∴△DPF∽△DBA，

∴＝＝，

設AP＝x，則PD＝20﹣x，

∴PE＝x，PF＝（20﹣x）＝12﹣x，

∴PEPF＝x×（12﹣x）

＝﹣x2+x

＝﹣（x﹣10）2+36.

∴當x＝10時，PEPF有最大值，最大值為36，

故答案為：36