Question

【題目】已知△ABC，以AC為邊在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD．

（1）如圖1，若AB為邊在△ABC外作△ABE，AB＝AE，∠DAC＝∠EAB＝60°，求∠BFC的度數；

（2）如圖2，∠ABC＝α，∠ACD＝β，BC＝4，BD＝6．

①若α＝30°，β＝60°，AB的長為　 　；

②若改變α、β的大小，且α+β＝90°，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1）∠BFC＝120°；（2）①2；（3）S△ABC＝BCAH＝2．

【解析】

（1）根據SAS，可首先證明△AEC≌△ABD，再利用全等三角形的性質，可得對應角相等，根據三角形的外角的定理，可求出∠BFC的度數；

（2）①在△ABC外作等邊△BAE，連接CE，證明△EAC≌△BAD，可證∠EBC＝90°，EC＝BD＝6，在Rt△BCE中，由勾股定理求BE即可；

②過點B作BE∥AH，并在BE上取BE＝2AH，連接EA，EC．并取BE的中點K，連接AK，證明△EAC≌△BAD，求得EC＝DB，利用勾股定理即可得出結論．

（1）∵∠EAB＝∠DAC＝60°，

∴∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC，

∴∠EAC＝∠DAB，

在△AEC和△ABD中，

，

∴△AEC≌△ABD（SAS），

∴∠AEC＝∠ABD，

∵∠BFC＝∠BEF+∠EBF＝∠AEB+∠ABE，

∴∠BFC＝∠AEB+∠ABE＝120°；

（2）①如圖2，以AB為邊在△ABC外作正三角形ABE，連接CE．

由（1）可知△EAC≌△BAD．

∴EC＝BD．

∴EC＝BD＝6，

∵∠BAE＝60°，∠ABC＝30°，

∴∠EBC＝90°．

在Rt△EBC中，EC＝6，BC＝4，

∴EB＝ ,

∴AB＝BE＝；

故答案為：．

②如圖2，作AH⊥BC交BC于H，過點B作BE∥AH，并在BE上取BE＝2AH，連接EA，EC．并取BE的中點K，連接AK．

∵AH⊥BC于H，

∴∠AHC＝90°．

∵K為BE的中點，BE＝2AH，

∴BK＝AH．

∵BK∥AH，

∴四邊形AKBH為平行四邊形．

又∵∠AHC＝90°，

∴四邊形AKBH為矩形．

∴∠AKB＝90°,∠ABE＝∠ACD，

∴AK是BE的垂直平分線．

∴AB＝AE．

∵AB＝AE，AC＝AD，∠ABE＝∠ACD，

∴∠EAB＝∠DAC，

∴∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC，

即∠EAC＝∠BAD，

在△EAC與△BAD中，

∴△EAC≌△BAD（SAS）．

∴EC＝BD＝6．

在Rt△BCE中，BE＝,

∴AH＝BE＝，

∴S△ABC＝BCAH＝2．