Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC的內角平分線與外角平分線分別交BC及BC的延長線于點P、Q．

（1）求∠PAQ的大小；

（2）若點M為PQ的中點，求證：PM2＝CM·BM．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）由角平分線的性質及∠BAD為平角直接可得；（2）由于線段PM、CM、BM在同一條直線上，所以必須把某條線段轉化為另一相等的線段，構造相似三角形，因此，可證PM＝AM，從而證明△ACM與△ABM相似即可．

解：

（1）∵AP平分∠BAC，∴，

又∵AQ平分∠CAD，∴．

∴．

又∵∠BAC＋∠CAD＝∠180°，∴∠PAC＋∠CAQ＝90°，即∠PAQ＝90°．

（2）證明：如圖，連接AM，∵∠PAQ＝90°，M是PQ的中點，∴PM＝AM，∴∠APM＝∠PAM．

∵∠APM＝∠B＋∠BAP，∠PAM＝∠CAM＋∠PAC，

∴∠B＝∠CAM，∵∠AMC＝∠BMA，

∴△ACM∽△BAM．

∴．∴AM2＝CM·BM，即PM2＝CM·BM．