Question

【題目】P是⊙O內一點，過點P作⊙O的任意一條弦AB，我們把PAPB的值稱為點P關于⊙O的“冪值”

（1）⊙O的半徑為6，OP=4．

①如圖1，若點P恰為弦AB的中點，則點P關于⊙O的“冪值”為_____；

②判斷當弦AB的位置改變時，點P關于⊙O的“冪值”是否為定值，若是定值，證明你的結論；若不是定值，求點P關于⊙0的“冪值”的取值范圍；

（2）若⊙O的半徑為r，OP=d，請參考（1）的思路，用含r、d的式子表示點P關于⊙O的“冪值”或“冪值”的取值范圍_____；

（3）在平面直角坐標系xOy中，C（1，0），⊙C的半徑為3，若在直線y=x+b上存在點P，使得點P關于⊙C的“冪值”為6，請直接寫出b的取值范圍_____．

Answer 1

【答案】（1）①20；②當弦AB的位置改變時，點P關于⊙O的“冪值”為定值，證明見解析；（2）點P關于⊙O的“冪值”為r2﹣d2；（3）﹣3≤b≤.

【解析】【詳解】（1）①如圖1所示：連接OA、OB、OP．由等腰三角形的三線合一的性質得到△PBO為直角三角形，然后依據勾股定理可求得PB的長，然后依據冪值的定義求解即可；

②過點P作⊙O的弦A′B′⊥OP，連接AA′、BB′．先證明△APA′∽△B′PB，依據相似三角形的性質得到PAPB=PA′PB′從而得出結論；

（2）連接OP、過點P作AB⊥OP，交圓O與A、B兩點．由等腰三角形三線合一的性質可知AP=PB，然后在Rt△APO中，依據勾股定理可知AP2=OA2-OP2，然后將d、r代入可得到問題的答案；

（3）過點C作CP⊥AB，先求得OP的解析式，然后由直線AB和OP的解析式，得到點P的坐標，然后由題意圓的冪值為6，半徑為4可求得d的值，再結合兩點間的距離公式可得到關于b的方程，從而可求得b的極值，據此即可確定出b的取值范圍．

【詳解】（1）①如圖1所示：連接OA、OB、OP，

∵OA=OB，P為AB的中點，

∴OP⊥AB，

∵在△PBO中，由勾股定理得：PB==2，

∴PA=PB=2，

∴⊙O的“冪值”=2×2=20，

故答案為：20；

②當弦AB的位置改變時，點P關于⊙O的“冪值”為定值，證明如下：

如圖，AB為⊙O中過點P的任意一條弦，且不與OP垂直，過點P作⊙O的弦A′B′⊥OP，連接AA′、BB′，

∵在⊙O中，∠AA′P=∠B′BP，∠APA′=∠BPB′，

∴△APA′∽△B′PB，

∴，

∴PAPB=PA′PB′=20，

∴當弦AB的位置改變時，點P關于⊙O的“冪值”為定值；

（2）如圖3所示；連接OP、過點P作AB⊥OP，交圓O與A、B兩點，

∵AO=OB，PO⊥AB，

∴AP=PB，

∴點P關于⊙O的“冪值”=APPB=PA2，

在Rt△APO中，AP2=OA2﹣OP2=r2﹣d2，

∴關于⊙O的“冪值”=r2﹣d2，

故答案為：點P關于⊙O的“冪值”為r2﹣d2；

（3）如圖4所示：過點C作CP⊥AB，

，

∵CP⊥AB，AB的解析式為y=x+b，

∴直線CP的解析式為y=﹣x+．

聯立AB與CP，得，

∴點P的坐標為（﹣﹣b，+b），

∵點P關于⊙C的“冪值”為6，

∴r2﹣d2=6，

∴d2=3，即（﹣﹣b）2+（+b）2=3，

整理得：b2+2b﹣9=0，

解得b=﹣3或b=，

∴b的取值范圍是﹣3≤b≤，

故答案為：﹣3≤b≤.