Question

【題目】如圖，點C為y軸正半軸上一點，點P（2，2）在直線y＝x上，PD＝PC，且PD⊥PC，過點D作直線AB⊥x軸于B，直線AB與直線y＝x交于點A，直線CD與直線y＝x交于點Q，當∠CPA＝∠PDB時，則點Q的坐標是_____．

Answer 1

【答案】（2+2，2+2）．

【解析】

過P點作x軸的平行線交y軸于M，交AB于N，如圖，設C（0，t），OP＝2，OM＝BN＝PM＝2，CM＝t﹣2，利用旋轉性質得PC＝PD，∠CPD＝90°，再證明△PCM≌△DPN得到PN＝CM＝t﹣2，DN＝PM＝2，于是得到D（t，4），接著利用△OPC≌△ADP得到AD＝OP＝2，則A（t，4+2），于是利用y＝x圖象上點的坐標特征得到t＝4+2，所以C（0，4+2），D（4+2，4），接下來利用待定系數求出直線CD的解析式為y＝（1﹣）x+4+2，則通過解方程組可得Q點坐標．

解：過P點作x軸的平行線交y軸于M，交AB于N，如圖，設C（0，t），

∴P（2，2），

∴OP＝2，OM＝BN＝PM＝2，CM＝t﹣2，

∵PC=PD,PC⊥PD

∴PC＝PD，∠CPD＝90°，

∴∠CPM+∠DPN＝90°，

而∠CPM+∠PCM＝90°，

∴∠PCM＝∠DPN，

在△PCM和△DPN中，

∴△PCM≌△DPN（AAS），

∴PN＝CM＝t﹣2，DN＝PM＝2，

∴MN＝t﹣2+2＝t，DB＝2+2＝4，

∴D（t，4），

∵∠COP＝∠OAB＝45°，∠CPQ＝∠PDB，

∴∠CPO＝∠PDA，

∴△OPC≌△ADP（AAS），

∴AD＝OP＝2，

∴A（t，4+2），

把A（t，4+2）代入y＝x得t＝4+2，

∴C（0，4+2），D（4+2，4），

設直線CD的解析式為y＝kx+b，

把C（0，4+2），D（4+2，4）代入得，解得，

∴直線CD的解析式為y＝（1﹣）x+4+2，

解方程組得，

∴Q（2+2，2+2）．

故答案為（2+2，2+2）．