Question

如圖，已知反比例函數和一次函數的圖象相交于第一象限內的點A，且點A的橫坐標為1。過點A作AB⊥x軸于點B，△AOB的面積為1。

（1）求反比例函數和一次函數的解析式；
（2）若一次函數的圖象與x軸相交于點C，求線段AC的長度；
（3）直接寫出：當＞＞0時，x的取值范圍；
（4）在y軸上是否存在一點p，使△PAO為等腰三角形，若存在，請直接寫出p點坐標，若不存在，請說明理由。（要求至少寫兩個）

Answer 1

（1），；（2）；（3）；（4）

試題分析：（1）根據反比例函數的k的幾何意義即可求得反比例函數的解析式，從而可以求得點A的坐標，再根據點A在圖象上即可求得一次函數的解析式；
（2）把時代入即可求得點C的坐標，再根據勾股定理求解即可；
（3）找到第一象限中反比例函數的圖象在一次函數的圖象上方的部分對應的x值的范圍即可；
（4）根據函數圖象上的點的坐標的特征結合等腰三角形的性質求解即可.
（1）∵
∴
∵經過第一象限
∴  
∴
當時代入得
∴A（1，2）
∵A（1，2）在圖象上
∴，解得
∴；
（2）當時代入得
∴C（－1，0）
在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=2，BC=2
∴AC＝
（3）由圖可知：當時，＞＞0時；
（4）存在點，使△PAO為等腰三角形
（OA的垂直平分線與軸的交點）等等.
點評：此類問題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.