Question

【題目】如圖，已知是邊長為的正方形，是邊上的一個動點，連接，的延長線交的延長線于點，連接．作的外接圓．設＝，＝．

（1）求與之間的函數關系式；

（2）若是的切線，求的值；

（3）過點________作________________，垂足為________，交________于點________，直線________交________于點________（如圖）．若________＝，則________的值是________．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）證明，利用相似比得到，然后變形有；

（2）連接，如圖，根據圓周角定理得是的直徑，再利用切線的性質得，接著證明，利用相似比得到，即＝，與聯立可求出的值；

與的交點為，連結，如圖，在中利用勾股定理計算出＝，再利用面積法計算出，接著在中利用勾股定理計算出，則可得到，根據圓周角定理得到＝，于是得到．

解：（1）∵四邊形是正方形，

∴，

∴＝，＝，

∴，

∴，即

∴；

（2）連接，如圖，

∵＝，

∴是的直徑，

∵是的切線，

∴，

∴＝，

∵＝，＝，

∴＝，

∵＝，

∴＝，

∴＝，

∵＝，

∴，

∴，即，

∴＝，

∵，

∴＝，

由于，則方程化為＝，解得＝，＝（舍去），

∴的值為；

（3）與的交點為，連結，如圖，

∵＝，

∴為的直徑，

在中，

∵＝＝，＝，

∴，

∵，

∴，

在中，∵，，

∴，

∴，

∵＝，

∴．

故答案為．