Question

【題目】對于一個矩形ABCD及⊙M給出如下定義：在同一平面內，如果矩形ABCD的四個頂點到⊙M上一點的距離相等，那么稱這個矩形ABCD是⊙M的“伴侶矩形”．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l：y= x﹣3交x軸于點M，⊙M的半徑為2，矩形ABCD沿直線運動（BD在直線l上），BD=2，AB∥y軸，當矩形ABCD是⊙M的“伴侶矩形”時，點C的坐標為 ．

Answer 1

【答案】（ ﹣ ，﹣ ）或（ + ， ）
【解析】解：如圖所示，矩形在這兩個位置時就是⊙M的“伴侶矩形”，根據直線l：y= x﹣3得：OM= ，ON=3，由勾股定理得：MN= =2 ，
①矩形在x軸下方時，分別過A、D作兩軸的垂線AH、DG，
由cos∠ABD=cos∠ONM= ，∴ = ，AB= ，則AD=1，
∵DG∥y軸，
∴△MDG∽△MON，
∴ ，∴ ，∴DG= ，∴CG= + = ，同理可得： ，∴ ，∴DH= ，∴C（ ﹣ ，﹣ ）；②矩形在x軸上方時，同理可得：C（ ， ）；
故答案為：（ ﹣ ，﹣ ）或（ + ， ）．

根據“伴侶矩形”的定義可知：圓上的點一定在矩形的對角線交點上，因為只有對角線交點到四個頂點的距離相等，由此畫出圖形，先求出直線與x軸和y軸兩交點的坐標，和矩形的長和寬；
有兩種情況：①矩形在x軸下方時，作輔助線構建相似三角形得比例式，分別求出DG和DH的長，從而求出CG的長，根據坐標特點寫出點C的坐標；②矩形在x軸上方時，也分別過C、B兩點向兩坐標軸作垂線，利用平行相似得比例式，求出：C（ ， ）．此題主要考查了圓的綜合應用以及相似三角形的性質和矩形等知識，綜合性較強，解答本題需要我們熟練各部分的內容，對學生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學知識貫穿起來．同時，正確理解題意準確畫出符合條件的矩形是本題的關鍵，這就需要熟練掌握矩形的對角線的交點到四個頂點的距離相等．