Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，且與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸DE交x軸于點E，連接BD．
（1）求經過A，B，C三點的拋物線的函數表達式；
（2）點P是線段BD上一點，當PE=PC時，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，過點P作PF⊥x軸于點F，G為拋物線上一動點，M為x軸上一動點，N為直線PF上一動點，當以F、M、G為頂點的四邊形是正方形時，請求出點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，

∴ ，

解得， ，

∴經過A，B，C三點的拋物線的函數表達式為y=﹣x2+2x+3

（2）

解：如圖1 ，連接PC、PE，

x=﹣ =﹣ =1，

當x=1時，y=4，

∴點D的坐標為（1，4），

設直線BD的解析式為：y=mx+n，

則 ，

解得， ，

∴直線BD的解析式為y=﹣2x+6，

設點P的坐標為（x，﹣2x+6），

則PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，

∵PC=PE，

∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，

解得，x=2，

則y=﹣2×2+6=2，

∴點P的坐標為（2，2）；

（3）

解：設點M的坐標為（a，0），則點G的坐標為（a，﹣a2+2a+3），

∵以F、M、G為頂點的四邊形是正方形，

∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|，

當2﹣a=﹣a2+2a+3時，

整理得，a2﹣3a﹣1=0，

解得，a= ，

當2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）時，

整理得，a2﹣a﹣5=0，

解得，a= ，

∴當以F、M、G為頂點的四邊形是正方形時，點M的坐標為（ ，0），（ ，0），（ ，0），（ ，0）

【解析】（1）利用待定系數法求出過A，B，C三點的拋物線的函數表達式；
　　　　（2）連接PC、PE，利用公式求出頂點D的坐標，利用待定系數法求出直線BD的解析式，設出點P的坐標為（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2 ， 根據題意列出方程，解方程求出x的值，計算求出點P的坐標；　
　　　　（3）設點M的坐標為（a，0），表示出點G的坐標，根據正方形的性質列出方程，解方程即可．本題考查的是二次函數的圖象和性質、待定系數法求函數解析式以及正方形的性質，掌握二次函數的圖象和性質、靈活運用待定系數法是解題的關鍵．
【考點精析】利用二次函數的圖象和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．