Question

【題目】在四邊形中，，，，，是上一點，是延長線上一點，且．

（1）試說明：；

（2）在圖中，若點在上，且，試猜想、、之間的數量關系，并證明所歸納結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），證明見解析

【解析】

（1）通過角的計算得出∠C=∠DBF，結合CD=BD、CE=BF即可證出△CDE≌△BDF（SAS），由此即可得出DE=DF；
（2）連接AD，結合AC=AB、DC=DB即可證出△ABD≌△ACD（SSS），由此即可得出∠BDA=∠CDA=60°，再根據∠EDG=60°即可得出∠CDE=∠ADG，∠ADE=∠BDG，由（1）可知△CDE≌△BDF，進而得知∠CDE=∠BDF，根據角的計算即可得出∠EDG=∠FDG，結合DE=DF即可證出△DEG≌△DFG（SAS），即得出EG=FG，由相等的邊與邊之間的關系即可證出CE+BG=EG．

（1）∵∠CAB+∠C+∠CDB+∠ABD=360°，∠CAB=60°，∠CDB=120°，
∴∠C+∠ABD=360°-60°-120°=180°，
又∵∠DBF+∠ABD=180°，
∴∠C=∠DBF，
在△CDE和△BDF中，

，

∴△CDE≌△BDF(SAS)，
∴DE=DF；

（2）如圖，連接AD，

猜想CE、EG、BG之間的數量關系為：CE+BG=EG．
證明：在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠BDA=∠CDA=∠CDB=，
又∵∠EDG=60°，
∴∠CDE=∠ADG，∠ADE=∠BDG，
由（1），可得△CDE≌△BDF，
∴∠CDE=∠BDF，
∴∠BDG+∠BDF=60°，
即∠FDG=60°，
∴∠EDG=∠FDG，
在△DEG和△DFG中，

，

∴△DEG≌△DFG，
∴EG=FG，
又∵CE=BF，FG=BF+BG，
∴CE+BG=EG．