Question

【題目】如圖，直線l切⊙O于點A，點P為直線l上一點，直線PO交⊙O于點C、B，點D在線段AP上，連接DB，且AD＝DB．

（1）求證：DB為⊙O的切線；（2）若AD＝1，PB＝BO，求弦AC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AC＝3．

【解析】

（1）要證明DB為⊙O的切線，只要證明∠OBD＝90即可．

（2）根據已知及直角三角形的性質可以得到PD＝2BD＝2DA＝2，再利用等角對等邊可以得到AC＝AP，這樣求得AP的值就得出了AC的長．

（1）證明：連接OD；

∵PA為⊙O切線，

∴∠OAD＝90°；

在△OAD和△OBD中，

，

∴△OAD≌△OBD，

∴∠OBD＝∠OAD＝90°，

∴OB⊥BD

∴DB為⊙O的切線

（2）解：在Rt△OAP中；

∵PB＝OB＝OA，

∴OP＝2OA，

∴∠OPA＝30°，

∴∠POA＝60°＝2∠C，

∴PD＝2BD＝2DA＝2，

∴∠OPA＝∠C＝30°，

∴AC＝AP＝3．