Question

5．如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點，DE⊥BC，交AC于點E，AD交BE于點F，若已知AD=AB．
（1）求證：∠CAD=∠ABE；
（2）求證：AF=DF．

Answer 1

分析 （1）根據線段垂直平分線的性質得到CE=BE，由等腰三角形的性質得到∠C=∠CBE，∠ADB=∠ABD，于是得到結論；
（2）過F點作BC的平行線交AC于M、交AB于N，根據平行線的性質得到∠C=∠AMF，∠BFN=∠DBF，等量代換得到∠AMF=∠BFN，根據相似三角形的性質得到$\frac{MF}{CD}=\frac{AF}{AD}=\frac{FN}{BD}$，推出FM=FN，根據全等三角形的性質得到AF=BN，根據線段的和差即可得到結論．

解答 解：（1）∵D是BC邊的中點，DE⊥BC，
∴CE=BE，
∴∠C=∠CBE，
∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD，
∵∠ADB=∠CAD+∠C，∠ABC=∠ABE+∠DBE，
∴∠CAD=∠ABE；

（2）過F點作BC的平行線交AC于M、交AB于N，
∵MN∥BC，
∴∠C=∠AMF，∠BFN=∠DBF，
∵∠C=∠CBE，
∴∠AMF=∠BFN，
∵MN∥BC，
∴△AMF∽△ACD，△AFN∽△ADB，
∴$\frac{MF}{CD}=\frac{AF}{AD}=\frac{FN}{BD}$，
∵CD=BD，
∴FM=FN，
在△AFM與△BFN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AMF=∠BFN}\\{∠MAF=∠NBF}\\{MF=FN}\end{array}\right.$，
∴△AFM≌△BFN
∴AF=BN，
∵△ABD是等腰三角形，
∴BN=DF，
∴AF=DF．

點評 本題考查了線段的垂直平分線的性質，全等三角形的判斷和性質，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．