Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=10cm，BC=30cm，E是邊CD的中點，連接BE并延長與AD的延長線相交于點F．

（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）cm2或cm2．

【解析】

試題分析：（1）根據同旁內角互補兩直線平行求出BC∥AD，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角邊”證明△BEC和△FCD全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE=EF，然后利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可；

（2）分三種情況：①BC=BD時，由勾股定理列式求出AB，由平行四邊形的面積公式列式計算即可得解；

②BC=CD時，過點C作CG⊥AF于G，證出四邊形AGCB是矩形，由矩形的對邊相等得AG=BC=3，求出DG=2，由勾股定理列式求出CG，由平行四邊形的面積列式計算即可；

③BD=CD時，BC邊上的中線應該與BC垂直，從而得到BC=2AD=2，矛盾．

試題解析：（1）證明：∵∠A=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴∠CBE=∠DFE，在△BEC與△FED中，∵∠CBE=∠DFE，∠BEC=∠FED，CE=DE，∴△BEC≌△FED（AAS），∴BE=FE，又∵E是邊CD的中點，∴CE=DE，∴四邊形BDFC是平行四邊形；

（2）解：分三種情況：①BC=BD=30cm時，由勾股定理得，AB===（cm），∴四邊形BDFC的面積==（cm2）；

②BC=CD=30時，過點C作CG⊥AF于G，如圖所示：

則四邊形AGCB是矩形，∴AG=BC=30，∴DG=AG﹣AD=30﹣10=20，由勾股定理得，CG===，∴四邊形BDFC的面積==；

③BD=CD時，BC邊上的中線應該與BC垂直，從而得到BC=2AD=20，矛盾，此時不成立；

綜上所述，四邊形BDFC的面積是cm2或cm2．