Question

【題目】如圖，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，連接AD，作BF⊥AD分別交AD于E，AC于F．
（1）如圖1，若BD=BA，求證：△ABE≌△DBE；
（2）如圖2，若BD=4DC，取AB的中點G，連接CG交AD于M， 求證：①GM=2MC；
②AG2=AFAC．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在Rt△ABE和Rt△DBE中， ，

∴△ABE≌△DBE

（2）證明：①過G作GH∥AD交BC于H，

∵AG=BG，

∴BH=DH，

∵BD=4DC，

設DC=1，BD=4，

∴BH=DH=2，

∵GH∥AD，

∴ = = ，

∴GM=2MC；

②過C作CN⊥AC交AD的延長線于N，則CN∥AG，

∴△AGM∽△NCM，

∴ = ，

由①知GM=2MC，

∴2NC=AG，

∵∠BAC=∠AEB=90°，

∴∠ABF=∠CAN=90°﹣∠BAE，

∴△ACN∽△BAF，

∴ = ，

∵AB=AG，

∴ = ，

∴2CNAG=AFAC，

∴AG2=AFAC．

【解析】（1）根據全等三角形的判定定理即可得到結論；（2）①過G作GH∥AD交BC于H，由AG=BG，得到BH=DH，根據已知條件設DC=1，BD=4，得到BH=DH=2，根據平行線分線段成比例定理得到 = = ，求得GM=2MC； ②過C作CN⊥AD交AD的延長線于N，則CN∥AG，根據相似三角形的性質得到 = ，由①知GM=2MC，得到2NC=AG，根據相似三角形的性質得到 = ，等量代換得到 = ，于是得到結論．
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．