Question

【題目】如圖，O為正方形ABCD的對角線AC上一點，以O為圓心，OC的長為半徑的與AB相切于點M．

求證：AD與相切；

若，求圖中陰影部分面積．

Answer 1

【答案】(1)見解析;（2）2π-4.

【解析】

（1）過O作ON⊥AD于N，由垂直的定義得到∠ONA=90°，根據正方形的性質得到∠OAN=∠OAM=45°，根據切線的性質得到∠OMA=90°，根據全等三角形的性質得到ON=OM，于是得到結論；

（2）首先求出AE=AF，進而求出△CEF的面積，進而得出陰影部分的面積.

解: （1）證明：連接OM,過O作ON⊥AD于N，

∴∠ONA=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠OAN=∠OAM =45°，

∵AB與⊙O相切于M，

∴∠OMA=90°，

在△ONA與△OMA中，

，

∴△ONA≌△OMA，

∴ON=OM，

∴BC與⊙O相切；

（2）設⊙O的半徑為r．

顯然OM∥CB，

∴△AOM∽△ACB，

∴ ，即,

解得r=2

故⊙O的半徑為2;

連接EF，

則EF是⊙O的直徑，

∵AC是正方形ABCD的對角線，

∴∠DAC=45°，

∵CO=FO，

∴∠CFO=45°，

∴∠COF=90°，

則AE=AF，

∵EF=4，

∴CE=CF=2，

∴S△CEF=×2×2=4，==,

故陰影部分面積: -4.