Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過原點，頂點為A（h，k）（h≠0）．

（1）當h=1，k=2時，求拋物線的解析式；
（2）若拋物線y=tx2（t≠0）也經過點A，過a與t之間的關系式；
（3）在（2）的條件下，已知a=﹣ ，直線l：y= x﹣1與拋物線y=tx2﹣ x﹣7交于點B，C，與x軸，y軸交于點D，E，點M在拋物線y=tx2﹣ x﹣7上，且點M的橫坐標為m（0＜m＜6）．MF∥y軸交于直線l于點F，點N在直線l上，且四邊形MNFQ為矩形（如圖），若矩形MNFQ的周長為P，求P的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵由題意可知拋物線頂點坐標為（1，2），

∴可設拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+2，

∵拋物線過原點，

∴0=a（0﹣1）2+2，解得a=﹣2，

∴拋物線解析式為y=﹣2（x﹣1）2+2；

（2）解：∵拋物線y=tx2（t≠0）也經過點A，

∴k=th2，

∴y=a（x﹣h）2+k=a（x﹣h）2+th2，

∵當x=0時y=0，

∴0=ah2+th2，

∵h≠0，

∴a+t=0，即a=﹣t；

（3）解：由（2）可知a=﹣t，
∴當a=-時，t= ，
∴M（m， m2-m-7），F（m，m﹣1），
∴FM=（m﹣1）﹣（m2﹣m﹣7）=﹣m2+2m+6，
又在y= x﹣1中，
當x=0時，y=﹣1，y=0時，x=，
∴OD=，OE=1，
∴DE==，
∵MF∥y軸，
∴∠DEO=∠MFN，
在矩形MNFQ中，NF=MF·cos∠MFN=MF·=MF，
MN=MF·sin∠MFN=MF·=MF，
∴P=2（MN+NF）=MF=（﹣m2+2m+6）=- m2+ m+=﹣（m﹣2）2+ ，
∵0＜m＜6，﹣＜0，
∴當m=2時，P取最大值，最大值為 ．

【解析】（1）由題可知拋物線頂點坐標為（1，2），依此可設拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+2，又拋物線過原點，從而得出拋物線解析式.

（2）將A點坐標代入拋物線y=tx2（t≠0），再將（0，0）代入y=a（x﹣h）2+k，由此即可得出即a=﹣t.
（3）由（2）知a=﹣t，由題意知M（m， m2-m-7），F（m，m﹣1），從而得FM=﹣m2+2m+6；根據已知條件得OD=，OE=1，
根據勾股定理得DE=，由平行線性質得∠DEO=∠MFN；在矩形MNFQ中，由銳角三角函數定義得NF=MF，MN=MF，從而得出P=2（MN+NF）=﹣（m﹣2）2+ ，根據二次函數得性質和自變量的取值范圍0＜m＜6得當m=2時，Pmin= ．

【考點精析】關于本題考查的勾股定理的概念和矩形的性質，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能得出正確答案．