Question

【題目】如圖①，在ABCD中，AB=10cm，BC=4cm，∠BCD=120°，CE平分∠BCD交AB于點E.點P從A點出發，沿AB方向以1cm/s的速度運動，連接CP，將△PCE繞點C逆時針旋轉60°，使CE與CB重合，得到△QCB，連接PQ.

（1）求證：△PCQ是等邊三角形；

（2）如圖②，當點P在線段EB上運動時，△PBQ的周長是否存在最小值？若存在，求

出△PBQ周長的最小值；若不存在，請說明理由；

（3）如圖③，當點P在射線AM上運動時，是否存在以點P、B、Q為頂點的直角三角形？

若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由.

（1） （2）

（3）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，理由見解析；（3）t為2s或者14s.

【解析】分析：（1）根據旋轉的性質，證明△PCE≌△QCB，然后根據全等三角形的性質和等邊三角形的判定證明即可；

（2）利用平行四邊形的性質證得△BCE為等邊三角形，然后根據全等三角形的性質得到△PBQ的周長為4+CP，然后垂線段最短可由直角三角形的性質求解即可；

（3）根據點的移動的距離，分類討論求解即可.

詳解：（1）∵旋轉

∴△PCE≌△QCB

∴CP=CQ，∠PCE =∠QCB，

∵∠BCD=120°，CE平分∠BCD，

∴∠PCQ=60°，

∴∠PCE +∠QCE=∠QCB+∠QCE=60°，

∴△PCQ為等邊三角形.

（2）存在

∵CE平分∠BCD，

∴∠BCE=，

∵在平行四邊形ABCD 中，

∴AB∥CD

∴∠ABC=180°﹣120°=60°

∴△BCE為等邊三角形

∴BE=CB=4

∵旋轉

∴△PCE≌△QCB

∴EP=BQ，

∴C△PBQ=PB+BQ+PQ

=PB+EP+PQ

=BE+PQ

=4+CP

∴CP⊥AB時，△PBQ周長最小

當CP⊥AB時，CP=BCsin60°=

∴△PBQ周長最小為4＋

（3）①當點B與點P重合時，P,B,Q不能構成三角形

②當0≤t＜6時，由旋轉可知，

∠CPE=∠CQB，

∠CPQ=∠CPB+∠BPQ=60°

則：∠BPQ+∠CQB＝60°，

又∵∠QPB+∠PQC+∠CQB+∠PBQ=180°

∴∠CBQ=180°—60°—60°=60°

∴∠QBP=60°，∠BPQ＜60°，

所以∠PQB可能為直角

由（1）知，△PCQ為等邊三角形，

∴∠PBQ=60°，∠CQB＝30°

∵∠CQB＝∠CPB

∴∠CPB=30°

∵∠CEB＝60°，

∴∠ACP＝∠APC=30°

∴PA=CA=4，

所以AP=AE-EP=6-4=2

所以t＝2s

③當6＜t＜10時，由∠PBQ＝120°＞90°，所以不存在

④當t＞10時，由旋轉得：∠PBQ=60°，由（1）得∠CPQ=60°

∴∠BPQ=∠CPQ+∠BPC=60°+∠BPC，

而∠BPC＞0°，

∴∠BPQ＞60°

∴∠BPQ=90°，從而∠BCP=30°，

∴BP=BC=4

所以AP=14cm

所以t=14s

綜上所述：t為2s或者14s時，符合題意。