Question

【題目】尺規作圖是指用無刻度的直尺和圓規作圖。尺規作圖是起源于古希臘的數學課題.只使用圓規和直尺，并且只準許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題.初中階段同學們首次接觸的尺規作圖是“作一條線段等于已知線段”.

圖1

圖2

備用圖

（1）如圖1，在線段外有一點，現在利用尺規作圖驗證“兩點之間線段最短”，.請根據提示，用尺規完成作圖，并補充驗證步驟.

第一步，以為圓心，為半徑作弧，交線段于點，則_____________；

第二步，以為圓心，為半徑作弧，交線段于點，則_____________；

則____________________________________________

故：.

（2）如圖2，在直線上，從左往右依次有四個點，，，，且，.現以為圓心，半徑長為作圓，與直線兩個交點中右側交點記為點.再以為圓心；相同半徑長作圓，與直線兩個交點中左側交點記為點.若，，三點中，有一點分另外兩點所連線段之比為，求半徑的長.

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；AM；BN；AM ； BN ；MN（2）6、10、、34.

【解析】

（1）根據尺規作圖的步驟按步驟進行操作，根據線段的數量關系進行判斷即可.

（2）根據題目中的線段間的關系，分類進行討論，分別為當P點在Q、F之間時，當Q點在P、F之間時，當F點在P、Q之間時，分別根據線段間的數量關系求解即可.

解：如圖：

（1）第一步，以為圓心，為半徑作弧，交線段于點，則AM；

第二步，以為圓心，為半徑作弧，交線段于點，則BN；

則AMBNMN

故：.

（2）

當P點在QF之間，①PF=2QP時，

∵=4，

∴,

∵OP=r,

∴，

同理可得OQ=8-r

∴QP=

∵,

∴PF=8-r+6=14-r，

2（2r-8）=14-r,

解得：r=6.

②PQ=2PF

∵,

∴OF=14，

∵OP=r，

∴PF=14-r,

∵,

∴OQ=r-8

∴，

同理

∴QP=8+2×（8-r）=24-2r

∴24-2r=14-r

解得r=10.

當Q點在中間時，即QF=2PQ

∵=4，

∴,

∵,

∴PQ=8-2r，

QF=6+r

6+r=8-2r

∴r=.

當F點在Q、P之間，QF=2FP時

∵=4，

∴,

∵,

∴FP=r-OF=r-14，

QF=r+6，

∴r+6=2（r-14），

解得r=34

故答案是：6、10、、34.