Question

【題目】如圖，△OAB中，OA＝OB＝10cm，∠AOB＝80°，以點O為圓心，半徑為6cm的優弧分別交OA、OB于點M、N．

(1)點P在右半弧上(∠BOP是銳角)，將OP繞點O逆時針旋轉80°得OP′．求證：AP＝BP′；

(2)點T在左半弧上，若AT與圓弧相切，求AT的長．

(3)Q為優弧上一點，當△AOQ面積最大時，請直接寫出∠BOQ的度數為 ．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AT＝8；(3)170°或者10°．

【解析】

（1）欲證明AP=BP′，只要證明△AOP≌△BOP′即可；
（2）在Rt△ATO中，利用勾股定理計算即可；

（3）當OQ⊥OA時，△AOQ面積最大，且左右兩半弧上各存在一點分別求出即可．

解：（1）證明：∵∠AOB＝∠POP′＝80°

∴∠AOB+∠BOP＝∠POP′+∠BOP即∠AOP＝∠BOP′

在△AOP與△BOP′中

，

∴△AOP≌△BOP′（SAS），

∴AP＝BP′；

（2）∵AT與弧相切，連結OT，

∴OT⊥AT

在Rt△AOT中，根據勾股定理，

AT＝

∵OA＝10，OT＝6，

∴AT＝8；

（3）解：如圖，當OQ⊥OA時，△AOQ的面積最大；
理由是：

當Q點在優弧MN左側上，

∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最長的高，則△AOQ的面積最大，
∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+80°=170°，

當Q點在優弧MN右側上，
∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最長的高，則△AOQ的面積最大，
∴∠BOQ=∠AOQ-∠AOB=90°-80°=10°，
綜上所述：當∠BOQ的度數為10°或170°時，△AOQ的面積最大．