Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D在射線BC上（與B、C兩點不重合），以AD為邊作正方形ADEF，使點E與點B在直線AD的異側，射線BA與直線CF相交于點G．

（1）若點D在線段BC上，如圖（1），判斷：線段BC與線段CG的數量關系：　 　，位置關系：　 　．

（2）如圖（2），①若點D在線段BC的延長線上，（1）中判斷線段BC與線段CG的數量關系與位置關系是否仍然成立，并說明理由；

②當G為CF中點，連接GE，若AB=，求線段GE的長．

Answer 1

【答案】(1) BC=CG，BC⊥CG (2) ①仍然成立 ②

【解析】分析：（1）根據等腰直角三角形的性質得到∠ACB=∠ABC=45°，由正方形的性質得到AD=AF，∠DAF=90°，由角的和差得到∠BAD=∠CAF，推出△BAD≌△CAF（SAS），根據全等三角形的性質得到∠ACF=∠B=45°，BD=CF，證得BC⊥CG，同理△ADC≌△AFG，即可得到結論；

（2）①根據等腰直角三角形的性質得到∠ACB=∠ABC=45°，由正方形的性質得到AD=AF，∠DAF=90°，由角的和差得到∠BAD=∠CAF，推出△BAD≌△CAF（SAS），根據全等三角形的性質得到∠ACF=∠B=45°，BD=CF，證得BC⊥CG，同理△ADC≌△AFG，即可得到結論；②與①同理，可得BD=CF，BC=CG，BC⊥CG，根據已知條件得到BC=CG=FG=CD=2，如圖（2），過點A作AM⊥BD于M，根據勾股定理得到AD=，過點E作EN⊥FG于N，根據全等三角形的性質得到FG=AM=1，推出NE為FG的垂直平分線，即可得到結論．

詳解：（1）BC=CG，BC⊥CG．

∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°．

∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°．

∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，則在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF=∠B=45°，BD=CF，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，∴BC⊥CG，同理△ADC≌△AFG，∴CD=GF，∴BD+CD=CF+GF，即BC=CG．

故答案為：BC=CG，BC⊥CG；

（2）①仍然成立

∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°．

∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，則在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF=∠B=45°，BD=CF，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，∴BC⊥CG，同理△ADC≌△AFG，∴CD=GF，∴BD+CD=CF+GF，即BC=CG；

②與①同理，可得BD=CF，BC=CG，BC⊥CG．

∵AB=，G為CF中點，∴BC=CG=FG=CD=2，如圖（2），過點A作AM⊥BD于M，∴AM=1，MD=3，∴AD=，過點E作EN⊥FG于N．在△AMD與△FNE中，，∴△AMD≌△FNE，∴FN=AM=1，∴FG=2FN，∴NE為FG的垂直平分線，即GE=FE=AD=．